航空機の定常旋回運動の定式化

航空機の旋回運動について、6自由度運動方程式を用いて解説する。

はじめに

航空機が旋回するメカニズムは「機体を旋回方向に傾けて、揚力の一部を中心力とすることで円運動を行う」と説明されることが多い。

これはもちろん間違ってはいないのだが、この説明だけ聞くと「機体が傾くと必ず機体は旋回する」ように聞こえる。

だが、実際はそんなことはなく、機体を傾けても、旋回せずに直進飛行をすることができたりもする。

というわけで、この記事では「旋回運動とは何なのか」について、6自由度運動方程式を用いて解説する。

結論だけ一言でいうと、

航空機の旋回運動とは「 \(\dot{\psi} = \Omega\) を満たすように、 \(V, \alpha, \beta, \phi, \theta, \delta_e, \delta_a, \delta_r, T\) を意図的に操作するマニューバ」である。

それではいってみよう。

航空機の6自由度運動方程式

旋回運動について理解する前に、基本となる航空機の6自由度運動方程式と、状態量について整理する。

まず、機体軸を次のように定義する。

\begin{align} x_b &: \text{前方} \\ y_b &: \text{右方} \\ z_b &: \text{下方} \end{align}

地球固定座標系は North-East-Down（北・東・下向，NED）座標系とする。

\begin{align} x_e &: \text{北} \\ y_e &: \text{東} \\ z_e &: \text{下} \end{align}

高度 \(h\) は、地球座標系の下向き座標 \(z_e\) を用いて、

\begin{align} h=-z_e \end{align}

である。

飛行力学における機体座標系の定義

飛行力学で操縦性/安定性を考えるときに導入される機体座標系について説明する

mtkbirdman.com

2022.12.05

航空機の状態量は次のように置く。

\begin{align}
\mathbf{x} =\begin{bmatrix} u & v & w & p & q & r & x_e & y_e & z_e & \phi & \theta & \psi \end{bmatrix}^{\mathrm T}
\end{align}

ここで、各記号の意味は次のとおりである。

記号	意味
\(u, v, w\)	機体軸速度成分
\(p, q, r\)	機体軸角速度成分
\(x_e, y_e, z_e\)	地球座標系における位置
\(\phi, \theta, \psi\)	姿勢角（ロール・ピッチ・ヨー角）

対気速度、迎角、横滑り角は次のように定義する。

\begin{align} V &= \sqrt{u^2+v^2+w^2} \\ \alpha &= \tan^{-1}\left(\frac{w}{u}\right) \\ \beta &= \sin^{-1}\left(\frac{v}{V}\right) \end{align}

\(V, \alpha, \beta\) から機体軸速度成分を書くと、

\begin{align} u &= V\cos\alpha\cos\beta \\ v &= V\sin\beta \\ w &= V\sin\alpha\cos\beta \end{align}

である。

\(u, v, w\) と \(V, \alpha, \beta\) は1対1で変換できるので、航空機の状態量は

\begin{align} \mathbf{x} =\begin{bmatrix} V & \alpha & \beta & p & q & r & x_e & y_e & z_e & \phi & \theta & \psi \end{bmatrix}^{\mathrm T} \end{align}

としても問題ない。

並進運動方程式は次の3式である。

\begin{align} \dot{u} &= rv-qw+\frac{X}{m}-g\sin\theta \\ \dot{v} &= pw-ru+\frac{Y}{m}+g\sin\phi\cos\theta \\ \dot{w} &= qu-pv+\frac{Z}{m}+g\cos\phi\cos\theta \end{align}

ここで、 \(X,Y,Z\) は重力を除いた外力、すなわち空気力・推力などの機体軸方向成分である。

回転運動方程式は

\begin{align} \dot{p} &= \frac{ I_z\left[L+(I_y-I_z)qr+I_{xz}pq\right] +I_{xz}\left[N+(I_x-I_y)pq-I_{xz}qr\right] }{I_xI_z-I_{xz}^2} \\ \dot{q} &= \frac{M+(I_z-I_x)pr-I_{xz}(p^2-r^2)}{I_y} \\ \dot{r} &= \frac{ I_{xz}\left[L+(I_y-I_z)qr+I_{xz}pq\right] +I_x\left[N+(I_x-I_y)pq-I_{xz}qr\right] }{I_xI_z-I_{xz}^2} \end{align}

である。

ここで、

\begin{align} \mathbf{I}_b =\begin{bmatrix} I_x & 0 & -I_{xz} \\ 0 & I_y & 0 \\ -I_{xz} & 0 & I_z \end{bmatrix} \end{align}

は慣性テンソルであり、通常の左右対称航空機では、

\begin{align} I_{xy}=0,\qquad I_{yz}=0 \end{align}

とみなせる。

機体軸速度 \((u,v,w)\) を地球座標系へ変換すると、位置の時間微分は次のようになる。

\begin{align}
\dot{x}_e &=u\cos\theta\cos\psi +v\left(\sin\phi\sin\theta\cos\psi-\cos\phi\sin\psi\right) +w\left(\cos\phi\sin\theta\cos\psi+\sin\phi\sin\psi\right) \\
\dot{y}_e &=u\cos\theta\sin\psi +v\left(\sin\phi\sin\theta\sin\psi+\cos\phi\cos\psi\right) +w\left(\cos\phi\sin\theta\sin\psi-\sin\phi\cos\psi\right) \\
\dot{z}_e &=-u\sin\theta+v\sin\phi\cos\theta+w\cos\phi\cos\theta
\end{align}

機体角速度 \((p,q,r)\) と Euler 角速度 \((\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})\) の関係は、

\begin{align}
\dot{\phi} &= p+q\sin\phi\tan\theta+r\cos\phi\tan\theta \\
\dot{\theta} &= q\cos\phi-r\sin\phi \\
\dot{\psi} &= \frac{q\sin\phi+r\cos\phi}{\cos\theta}
\end{align}

である。

逆変換は、

\begin{align}
p &= \dot{\phi}-\dot{\psi}\sin\theta \\
q &= \dot{\theta}\cos\phi+\dot{\psi}\sin\phi\cos\theta \\
r &= -\dot{\theta}\sin\phi+\dot{\psi}\cos\phi\cos\theta
\end{align}

である。

---

以上、整理すると、航空機の状態量は

\begin{align} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} u & v & w & p & q & r & x_e & y_e & z_e & \phi & \theta & \psi \end{bmatrix}^{\mathrm T} \end{align}

もしくは

\begin{align} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} V & \alpha & \beta & p & q & r & x_e & y_e & z_e & \phi & \theta & \psi \end{bmatrix}^{\mathrm T} \end{align}

の12個であり、これらの状態量を用いた6自由度方程式は、次の12本の1階微分方程式で表すことができる。

\begin{align}
\dot{u} &= rv-qw+\frac{X}{m}-g\sin\theta \\
\dot{v} &= pw-ru+\frac{Y}{m}+g\sin\phi\cos\theta \\
\dot{w} &= qu-pv+\frac{Z}{m}+g\cos\phi\cos\theta \\
\\
\dot{p} &= \frac{ I_z\left[L+(I_y-I_z)qr+I_{xz}pq\right] +I_{xz}\left[N+(I_x-I_y)pq-I_{xz}qr\right] }{I_xI_z-I_{xz}^2} \\
\dot{q} &= \frac{M+(I_z-I_x)pr-I_{xz}(p^2-r^2)}{I_y} \\
\dot{r} &= \frac{ I_{xz}\left[L+(I_y-I_z)qr+I_{xz}pq\right] +I_x\left[N+(I_x-I_y)pq-I_{xz}qr\right] }{I_xI_z-I_{xz}^2} \\
\\
\dot{x}_e &=u\cos\theta\cos\psi +v\left(\sin\phi\sin\theta\cos\psi-\cos\phi\sin\psi\right) +w\left(\cos\phi\sin\theta\cos\psi+\sin\phi\sin\psi\right) \\
\dot{y}_e &=u\cos\theta\sin\psi +v\left(\sin\phi\sin\theta\sin\psi+\cos\phi\cos\psi\right) +w\left(\cos\phi\sin\theta\sin\psi-\sin\phi\cos\psi\right) \\
\dot{z}_e &=-u\sin\theta+v\sin\phi\cos\theta+w\cos\phi\cos\theta \\
\\
\dot{\phi} &= p+q\sin\phi\tan\theta+r\cos\phi\tan\theta \\
\dot{\theta} &= q\cos\phi-r\sin\phi \\
\dot{\psi} &= \frac{q\sin\phi+r\cos\phi}{\cos\theta}
\end{align}

12個の変数に対して12個の式が与えられているので、この方程式は閉じており、空気力 \(X,Y,Z\) とモーメント \(L,M,N\) が与えられれば、航空機の非線形6自由度運動をシミュレーションすることができる。

↓参考

多目的遺伝的アルゴリズムを用いた鳥コン滑空機の飛行経路最適化 v2.0.0

pymooの多目的遺伝的アルゴリズムであるNSGA-IIと、 Scipy.solve_ivpを用いた航空機の6自由度の運動解析を用いて、久しぶりに鳥コン滑空機の飛行経路の最適化を行った（NSGA_NLFS6）

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2024.06.09

Scipyのsolve_ivpで航空機の6自由度の運動方程式を解く

Scipyのsolve_ivpを使って航空機の６自由度の微分方程式を解いて運動解析を行う

mtkbirdman.com

2024.06.09

空気力、空力モーメントの定式化

空気力と空力モーメントは、動圧 \(q=\frac{1}{2}\rho V^2\) 、代表面積 \(S\) 、代表長さを用いて無次元化する。

推力 \(T\) が機体軸 \(x\) 正方向に作用すると仮定すると、

\begin{align}
X &= T+q S C_X \\
Y &= q S C_Y \\
Z &= q S C_Z
\end{align}

また、機体軸まわりのモーメントは、

\begin{align}
L &= q S b C_l \\
M &= q S \bar{c} C_m \\
N &= q S b C_n
\end{align}

である。

空力係数は線形近似によって次のように表される。

\begin{align}
C_X &= -C_D\cos\alpha+C_L\sin\alpha \\
C_Y &= C_{Y\beta}\beta+C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat{r}}\hat{r}+C_{Y\delta_a}\delta_a+C_{Y\delta_r}\delta_r \\
C_Z &= -C_D\sin\alpha-C_L\cos\alpha
\end{align}

ここで、縦方向の揚力係数と抗力係数は、次のように表す。

\begin{align}
C_L &= C_{L0}+C_{L\alpha}\alpha+C_{L\hat{q}}\hat{q}+C_{L\delta_e}\delta_e \\
C_D &= C_{D0}+\frac{C_L^2}{\pi e AR}
\end{align}

モーメント係数は、

\begin{align}
C_m &= C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}+C_{m\delta_e}\delta_e \\
C_l &= C_{l\beta}\beta+C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat{r}}\hat{r}+C_{l\delta_a}\delta_a+C_{l\delta_r}\delta_r \\
C_n &= C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}+C_{n\delta_a}\delta_a+C_{n\delta_r}\delta_r
\end{align}

である。

ここで、 \(\hat{p},\hat{q},\hat{r}\) は、

\begin{align} \hat{p} &= \frac{pb}{2V} \\ \hat{q} &= \frac{q\bar{c}}{2V} \\ \hat{r} &= \frac{rb}{2V} \end{align}

である。

このように、空気力、空力モーメントは機体の状態量に加えて、 \(\delta_e, \delta_a, \delta_r, T\) という4個の制御入力によって決まっている。

これで、航空機の運動を記述するための全ての式がそろったので、次はこの式に適用する定常・高度維持旋回の条件について説明する。

定常・高度維持旋回の条件

長い長い前座がようやく終わったので、いよいよ本題に入る

これまでに説明してきた 12個の状態量・12個の方程式・４個の入力 に、以下の定常・高度維持旋回の条件を入れることで、どのように整理できるかを見ていこう

• 旋回運動の条件
• 高度維持の条件
• 力の釣り合い
• モーメントの釣り合い

それでは一つずつ説明していく

旋回運動の条件

旋回率は、地球座標系の鉛直軸まわりの方位角速度として、

\begin{align}
\dot{\psi} = \Omega
\end{align}

と定義する。

正の \(\Omega\) は、 \(\psi\) が増加する向き（右旋回）である。

方位角 \(\psi\) は時間に対して線形に変化する。

\begin{align} \psi(t)=\psi_0+\Omega t \end{align}

このとき、水平面内位置 \(x_e, y_e\) は平面運動として時間変化する。

速度 \(V\) 、旋回率 \(\Omega\) 、旋回半径 \(R\) 、とすると、水平面内の速度成分は

\begin{align}
\dot{x}_e &= V\cos \left(\psi_0+\Omega t\right) \\
\dot{y}_e &= V\sin \left(\psi_0+\Omega t\right)
\end{align}

であり、水平面内位置は

\begin{align}
x_e &= x_{e0}+R \sin\left(\psi_0+\Omega t\right) \\
y_e &= y_{e0}-R \cos\left(\psi_0+\Omega t\right)
\end{align}

と書ける。

一方で、\(\phi,\ \theta\) は一定である。よって、

\begin{align}
\dot{\phi} &= 0 \\
\dot{\theta} &= 0 \\
\dot{\psi} &= \Omega
\end{align}

を Euler 角速度から機体角速度への逆変換式

\begin{align} p &= \dot{\phi}-\dot{\psi}\sin\theta \\ q &= \dot{\theta}\cos\phi+\dot{\psi}\sin\phi\cos\theta \\ r &= -\dot{\theta}\sin\phi+\dot{\psi}\cos\phi\cos\theta \end{align}

に代入すると、

\begin{align} p &= -\Omega\sin\theta \\ q &= \Omega\sin\phi\cos\theta \\ r &= \Omega\cos\phi\cos\theta \end{align}

となる。

高度維持条件

高度維持とは、

\begin{align} \dot{z_e}=0 \end{align}

である。

位置の運動学方程式より、

\begin{align} \dot{z}_e=-u\sin\theta+v\sin\phi\cos\theta+w\cos\phi\cos\theta \end{align}

であるから、高度維持条件は、

\begin{align} -u\sin\theta+v\sin\phi\cos\theta+w\cos\phi\cos\theta=0 \end{align}

となる。

ここに、

\begin{align} u &= V\cos\alpha\cos\beta \\ v &= V\sin\beta \\ w &= V\sin\alpha\cos\beta \end{align}

を代入すると、

\begin{align} -V\cos\alpha\cos\beta\sin\theta +V\sin\beta\sin\phi\cos\theta +V\sin\alpha\cos\beta\cos\phi\cos\theta =0 \end{align}

である。\(V\neq0\) より、

\begin{align} -\cos\alpha\cos\beta\sin\theta + \sin\beta\sin\phi\cos\theta + \sin\alpha\cos\beta\cos\phi\cos\theta =0 \end{align}

となる。

これが、一般の横滑りを含む高度維持旋回の運動学的条件である。

力の釣り合い

並進運動方程式は、

\begin{align} \dot{u} &= rv-qw+\frac{X}{m}-g\sin\theta \\ \dot{v} &= pw-ru+\frac{Y}{m}+g\sin\phi\cos\theta \\ \dot{w} &= qu-pv+\frac{Z}{m}+g\cos\phi\cos\theta \end{align}

である。

定常旋回では、

\begin{align}
\dot{u}=\dot{v}=\dot{w}=0
\end{align}

なので、機体軸方向の力のつり合いは、

\begin{align} X &= m\left(qw-rv+g\sin\theta\right) \\ Y &= m\left(ru-pw-g\sin\phi\cos\theta\right) \\ Z &= m\left(pv-qu-g\cos\phi\cos\theta\right) \end{align}

である。

ここに、

\begin{align} u &= V\cos\alpha\cos\beta \\ v &= V\sin\beta \\ w &= V\sin\alpha\cos\beta \end{align}

\begin{align} p &= -\Omega\sin\theta \\ q &= \Omega\sin\phi\cos\theta \\ r &= \Omega\cos\phi\cos\theta \end{align}

を代入すると、

\begin{align} X &=m\left[ \Omega V\cos\theta \left(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta\right) +g\sin\theta \right] \\ Y &=m\left[ \Omega V\cos\beta \left(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right) -g\sin\phi\cos\theta \right] \\ Z &=m\left[ -\Omega V\sin\theta\sin\beta -\Omega V\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta -g\cos\phi\cos\theta \right] \end{align}

となる。

推力 \(T\) が機体軸 \(x\) 正方向に作用すると仮定すると、

\begin{align} X &= T+q S C_X \\ Y &= q S C_Y \\ Z &= q S C_Z \end{align}

なので、力の釣り合いは、まず \(C_X,C_Y,C_Z\) を用いて、

\begin{align} T+q S C_X &=m\left[ \Omega V\cos\theta \left(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta\right) +g\sin\theta \right] \\ q S C_Y &=m\left[ \Omega V\cos\beta \left(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right) -g\sin\phi\cos\theta \right] \\ q S C_Z &=m\left[ -\Omega V\sin\theta\sin\beta -\Omega V\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta -g\cos\phi\cos\theta \right] \end{align}

と書ける。

揚力係数 \(C_L\) と抗力係数 \(C_D\) で表すと、

\begin{align} C_X &= -C_D\cos\alpha+C_L\sin\alpha \\ C_Z &= -C_D\sin\alpha-C_L\cos\alpha \end{align}

なので

\begin{align}
T+q S\left(-C_D\cos\alpha+C_L\sin\alpha\right) &=m\left[ \Omega V\cos\theta \left(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta\right) +g\sin\theta \right] \\
q S \left(C_{Y\beta}\beta+C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat{r}}\hat{r}+C_{Y\delta_a}\delta_a+C_{Y\delta_r}\delta_r\right) &=m\left[ \Omega V\cos\beta \left(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right) -g\sin\phi\cos\theta \right] \\
q S\left(-C_D\sin\alpha-C_L\cos\alpha\right) &=m\left[ -\Omega V\sin\theta\sin\beta -\Omega V\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta -g\cos\phi\cos\theta \right]
\end{align}

とも書ける。

非常にわかりにくいが、要するに「機体に働く空気力（左辺）」と「機体に働く慣性力・重力（右辺）」が釣り合っているということであり、慣性の法則より、旋回している航空機は同じ速度で旋回をし続ける（=定常旋回）ということである。

モーメントの釣り合い

回転運動方程式は、

\begin{align}
\dot{p} &= \frac{ I_z\left[L+(I_y-I_z)qr+I_{xz}pq\right] +I_{xz}\left[N+(I_x-I_y)pq-I_{xz}qr\right] }{I_xI_z-I_{xz}^2} \\
\dot{q} &= \frac{M+(I_z-I_x)pr-I_{xz}(p^2-r^2)}{I_y} \\
\dot{r} &= \frac{ I_{xz}\left[L+(I_y-I_z)qr+I_{xz}pq\right] +I_x\left[N+(I_x-I_y)pq-I_{xz}qr\right] }{I_xI_z-I_{xz}^2}
\end{align}

であり、式に機体軸角速度の2次の項（\(p^2, r^2, pr, qr, pq\)）が含まれている（イナーシャカップリング）。

一方、空力モーメント \(L,M,N\) は、

\begin{align}
L &= q S b C_l \\
M &= q S \bar{c} C_m \\
N &= q S b C_n
\end{align}

と表される。ここで、モーメント係数を線形近似すると、

\begin{align}
C_l &=C_{l\beta}\beta +C_{l\hat{p}}\hat{p} +C_{l\hat{r}}\hat{r} +C_{l\delta_a}\delta_a +C_{l\delta_r}\delta_r \\
C_m &=C_{m0} +C_{m\alpha}\alpha +C_{m\hat{q}}\hat{q} +C_{m\delta_e}\delta_e \\
C_n &=C_{n\beta}\beta +C_{n\hat{p}}\hat{p} +C_{n\hat{r}}\hat{r} +C_{n\delta_a}\delta_a +C_{n\delta_r}\delta_r
\end{align}

であり、空力モーメントの線形近似に現れる機体軸角速度 \(p, q, r\) の項は、無次元角速度に対して一次である。

したがって、今回は、角速度の一次項は残し、角速度の二次項であるイナーシャカップリング項は無視する近似を行う。

よって、角速度の虹の項を無視したときの機体軸周りのモーメントのつり合いは、

\begin{align}
\dot{p} &= \frac{I_zL+I_{xz}N}{I_xI_z-I_{xz}^2}=0 \\
\dot{q} &= \frac{M}{I_y}=0 \\
\dot{r} &= \frac{I_{xz}L+I_xN}{I_xI_z-I_{xz}^2}=0
\end{align}

なので、

\begin{align}
L = M= N = 0
\end{align}

つまり

\begin{align}
C_l &= C_{l\beta}\beta+C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat{r}}\hat{r}+C_{l\delta_a}\delta_a+C_{l\delta_r}\delta_r &=0 \\
C_m &= C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}+C_{m\delta_e}\delta_e &=0 \\
C_n &= C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}+C_{n\delta_a}\delta_a+C_{n\delta_r}\delta_r &=0
\end{align}

である。

ここでも、機体軸周りのモーメントは釣り合っており、航空機は角速度（≒旋回率）を維持したまま旋回を続けることになる。

注：イナーシャカップリングは、機体の角速度と角運動量の向きが一般には一致しないことによって生じる慣性連成項である。今回は角速度が小さいとして二次項であるイナーシャカップリング項は無視する近似を行ったが、低速・大バンク・高旋回率・大きな慣性をもつ機体では、この項が無視できない場合がある。

まとめ

よって、まとめると、航空機の12個の状態量は

\begin{align}
V &= V_0=\mathrm{constant} \\
\alpha &= \alpha_0=\mathrm{constant} \\
\beta &= \beta_0=\mathrm{constant} \\
\\
\phi &= \phi_0=\mathrm{constant} \\
\theta &= \theta_0=\mathrm{constant} \\
\psi &= \psi_0+\Omega t \\
\\
p &= -\Omega\sin\theta=\mathrm{constant} \\
q &= \Omega\sin\phi\cos\theta=\mathrm{constant} \\
r &= \Omega\cos\phi\cos\theta=\mathrm{constant} \\
\\
x_e &= x_{e0}+R \sin\left(\psi_0+\Omega t\right) \\
y_e &= y_{e0}-R \cos\left(\psi_0+\Omega t\right) \\
z_e &= \mathrm{constant}
\end{align}

となる

このうち、\(\psi,p,q,r,x_e,y_e\) は \(\Omega,\phi,\theta\) で記述でき、\(z_e\)は適当な高度を与えればいいので、定常・高度維持旋回における独立な状態量は \(V,\alpha,\beta,\phi,\theta,\Omega\) の6個であることがわかる。

これに、4個の制御入力を加えると、定常・高度維持旋回においては、

\begin{align}
V,\ \alpha,\ \beta,\ \phi,\ \theta,\ \Omega,\ \delta_e,\ \delta_a,\ \delta_r,\ T
\end{align}

の10個のパラメータがあることになる。

これに対して、方程式は、力のつり合い3式、モーメントのつり合い3式、高度維持条件1式の合計7式がある。

\begin{align}
T+q S\left(-C_D\cos\alpha+C_L\sin\alpha\right) &=m\left[ \Omega V\cos\theta \left(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta\right) +g\sin\theta \right] \\
q S \left(C_{Y\beta}\beta+C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat{r}}\hat{r}+C_{Y\delta_a}\delta_a+C_{Y\delta_r}\delta_r\right) &=m\left[ \Omega V\cos\beta \left(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right) -g\sin\phi\cos\theta \right] \\
q S\left(-C_D\sin\alpha-C_L\cos\alpha\right) &=m\left[ -\Omega V\sin\theta\sin\beta -\Omega V\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta -g\cos\phi\cos\theta \right]
\end{align}

\begin{align}
C_l &=C_{l\beta}\beta +C_{l\hat{p}}\hat{p} +C_{l\hat{r}}\hat{r} +C_{l\delta_a}\delta_a +C_{l\delta_r}\delta_r \approx0 \\
C_m &=C_{m0} +C_{m\alpha}\alpha +C_{m\hat{q}}\hat{q} +C_{m\delta_e}\delta_e \approx0 \\
C_n &=C_{n\beta}\beta +C_{n\hat{p}}\hat{p} +C_{n\hat{r}}\hat{r} +C_{n\delta_a}\delta_a +C_{n\delta_r}\delta_r \approx0
\end{align}

\begin{align}
-\cos\alpha\cos\beta\sin\theta +\sin\beta\sin\phi\cos\theta +\sin\alpha\cos\beta\cos\phi\cos\theta =0
\end{align}

パラメータの数が10個あるのに対して、方程式の数が3個足りないので、パラメータを3個固定してやれば、その3個のパラメータを用いて残りの7個のパラメータを連立で求めることができる。

例えば、

\(V=V_0,\ \Omega=\Omega_0,\ \beta=0\) とすれば、

• ある速度・ある旋回率で滑りなしの協調旋回（coordinated turn）をするために必要な \(\alpha,\theta,\delta_e,\delta_a,\delta_r,T\) がわかる。

\(V=V_0,\ \Omega=\Omega_0,\ \delta_a=0\) とすれば、

• ある速度・ある旋回率でラダーのみ旋回をするために必要な \(\alpha,\beta,\theta,\delta_e,\delta_r,T\) がわかる。

\(V=V_0,\ \Omega=\Omega_0,\ \phi=0\) とすれば、

• ある速度・ある旋回率でゼロバンク旋回（flat turn）をするために必要な \(\alpha,\beta,\theta,\delta_e,\delta_a,\delta_r,T\) がわかる。

ということになる。

このように、旋回運動とは「機体をバンクさせると当然のように旋回する」ものではなく、旋回率\(\dot{\Psi}=\Omega\)の条件のもと、10個のパラメータの何をどのように固定するかをパイロットが恣意的に決定し操作する運動であり、協調旋回、ラダーのみ旋回、ゼロバンク旋回もすべて元を辿ればこの問題に帰結することになる

おわりに

この記事では、航空機の定常・高度維持旋回を、6自由度運動方程式から整理した。

定常・高度維持旋回では10個の独立なパラメータがあり、それらについて7個の方程式が与えられるため、3つの量を固定することによって、どのような旋回運動になるかが決定する

以降の記事では、この一般式を出発点として、いろいろな旋回形態について、3つの固定条件を与えたときに残りの7つの未知量がどのように定まるのかを具体的に整理していく。