航空機の定常協調旋回（Coordinated turn）

航空機の定常・高度維持・協調旋回について説明する。

はじめに

定常・高度維持旋回では、

\begin{aligned} V, \alpha, \beta, \phi, \theta, \Omega, \delta_e, \delta_a, \delta_r, T \end{aligned}

の 10 個のパラメータと、力のつり合い 3 式、モーメントのつり合い 3 式、高度維持条件 1 式の合計 7 式であり、旋回の種類を決めるには、この 10 個のうち 3 個を追加で固定する必要がある。

航空機の定常旋回運動の定式化

航空機の旋回運動について、6自由度運動方程式を用いて解説する。

mtkbirdman.com

2026.06.28

航空機の旋回は、「機体をバンクさせて、揚力の一部を向心力にする運動」と説明されることが多いが、実際は「\(\dot{\psi}=\Omega\) を満たすように、速度、姿勢、舵角、推力を整合させるトリム状態」である。

その中でも、横滑りを生じないように旋回するものを、協調旋回、あるいは coordinated turn と呼ぶ。

定常・高度維持・協調旋回の場合、

\begin{aligned} V &= V_0, \\ \Omega &= \Omega_0, \\ \beta &= 0 \end{aligned}

を固定する。

すなわち、ある速度 \(V_0\)、ある旋回率 \(\Omega_0\) で、横滑り角をゼロに保ったまま高度を維持して旋回するために必要な状態量と舵角を求める。

このとき未知量は、

\begin{aligned} \alpha, \phi, \theta, \delta_e, \delta_a, \delta_r, T \end{aligned}

の 7 個である。

以下ではまず、高度維持条件、力のつり合い、モーメントのつり合いを用いて、協調旋回の厳密式を導出する。

厳密式は、三角関数などを含むため、一般には非線形連立方程式となる。

その後、横力無視、小迎角、小ピッチ角などの近似を順に加えることで、標準的な旋回関係、荷重倍数、エレベータ・エルロン・ラダー舵角、推力の近似式へ落としていく。

それではいってみよう。

方程式の構成

協調旋回における固定条件は、

\begin{aligned} V=V_0, \Omega=\Omega_0, \beta=0 \end{aligned}

であり、未知量は、

\begin{aligned} \alpha, \phi, \theta, \delta_e, \delta_a, \delta_r, T \end{aligned}

である。

まず、滑りなし条件と定常旋回条件より、速度成分と無次元角速度は、

\begin{aligned} u &= V_0\cos\alpha, \\ v &= 0, \\ w &= V_0\sin\alpha, \\ \hat{p} &= -\frac{\Omega_0 b}{2V_0}\sin\theta, \\ \hat{q} &= \frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi\cos\theta, \\ \hat{r} &= \frac{\Omega_0 b}{2V_0}\cos\phi\cos\theta \end{aligned}

である。

また、力のつり合いに必要な外力は、

\begin{aligned} X_{\mathrm{req}} &= m(\Omega_0V_0\sin\alpha\sin\phi\cos\theta+g\sin\theta), \\ Y_{\mathrm{req}} &= m[\Omega_0V_0(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi\cos\theta], \\ Z_{\mathrm{req}} &= -m\cos\theta(\Omega_0V_0\sin\phi\cos\alpha+g\cos\phi) \end{aligned}

である。

ここで、

\begin{aligned} C_L &= C_{L0}+C_{L\alpha}\alpha+C_{L\hat{q}}\hat{q}+C_{L\delta_e}\delta_e, \\ C_D &= C_{D0}+\frac{C_L^2}{\pi eAR} \end{aligned}

とすると、7 つの未知量 \(\alpha, \phi, \theta, \delta_e, \delta_a, \delta_r, T\) を決める条件は、次のように書ける。

高度維持条件：

\begin{aligned} -\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\phi\cos\theta=0 \end{aligned}

力のつり合い：

\begin{aligned} T-q_\infty S(C_D\cos\alpha-C_L\sin\alpha)&=m(\Omega_0V_0\sin\alpha\sin\phi\cos\theta+g\sin\theta) \\ q_\infty S(C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat{r}}\hat{r}+C_{Y\delta_a}\delta_a+C_{Y\delta_r}\delta_r)&=m[\Omega_0V_0(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi\cos\theta] \\ q_\infty S(-C_D\sin\alpha-C_L\cos\alpha)&=-m\cos\theta(\Omega_0V_0\sin\phi\cos\alpha+g\cos\phi) \end{aligned}

モーメントの釣り合い：

\begin{aligned} 0&=C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}+C_{m\delta_e}\delta_e \\ 0&=C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat{r}}\hat{r}+C_{l\delta_a}\delta_a+C_{l\delta_r}\delta_r, \\ 0&=C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}+C_{n\delta_a}\delta_a+C_{n\delta_r}\delta_r \end{aligned}

以上の 7 式は、一般には非線形連立方程式となるため、代数的に解くことができない。

7 つのパラメータを厳密に求めるためには、解析的な手法が必要になる。

小迎角・小ピッチ角＋横力無視の近似を入れた場合

ここからは、上で示した 7 つの式に近似を加え、協調旋回に必要なパラメータを順に求めていく。

1. 横方向の力のつり合いからバンク角 \(\phi\) を求める。
2. 鉛直方向の力のつり合いから荷重倍数 \(n\) を求め、ピッチトリムと揚力係数を用いて迎角 \(\alpha\) を求める。
3. 迎角が求まれば、高度維持条件からピッチ角 \(\theta\) が決まり、無次元角速度 \(\hat{p},\hat{q},\hat{r}\) も計算できる。
4. 各軸のモーメントと力のつり合いから、エレベータ舵角 \(\delta_e\)、エルロン舵角 \(\delta_a\)、ラダー舵角 \(\delta_r\)、推力 \(T\) を求める。

ここでは、次の近似を入れる。

• 小迎角・小ピッチ角：\(\alpha\ll1,\ \theta\ll1\)
• 横力無視：\(C_Y\simeq0\)

それでは順番に説明していく

横方向の力のつり合いからバンク角 \(\phi\) を求める

横力を無視して、横方向の力のつり合いを

\begin{aligned} 0\simeq m(\Omega_0V_0\cos\phi-g\sin\phi) \end{aligned}

と置くと、

\begin{aligned} \tan\phi\simeq\frac{\Omega_0V_0}{g} \end{aligned}

したがって、

\begin{aligned} \phi\simeq\tan^{-1}\left(\frac{\Omega_0V_0}{g}\right) \end{aligned}

である。

これは、標準的な旋回関係としてよく使われる式である。

鉛直方向の力のつり合いから荷重倍数 \(n\) を求める

小迎角で

\begin{aligned} C_Z=-C_D\sin\alpha-C_L\cos\alpha \end{aligned}

を一次近似すると、

\begin{aligned} C_Z\simeq-C_D\alpha-C_L \end{aligned}

となるため、\(Z\) 方向力のつり合いは、

\begin{aligned} q_\infty S(C_L+\alpha C_D)=m(\Omega_0V_0\sin\phi+g\cos\phi) \end{aligned}

となる。

ここで、

\begin{aligned} C_D=C_{D0}+\frac{C_L^2}{\pi eAR} \end{aligned}

を残すと、\(C_L\) は \(\alpha\) の一次式なので、\(\alpha C_D\) によって \(\alpha\) の二次式となってしまう。

そこで、さらに抗力の鉛直方向成分 \(\alpha C_D\) を無視すると、\(Z\) 方向力のつり合いは

\begin{aligned} q_\infty SC_L\simeq m(\Omega_0V_0\sin\phi+g\cos\phi) \end{aligned}

である。

ここで、荷重倍数 \(n\) は「重量に対する揚力の比」として、

\begin{aligned} n\equiv\frac{L}{W} \end{aligned}

と定義する。

\begin{aligned} L &= q_\infty S C_L, \\ W &= mg \end{aligned}

より、

\begin{aligned} n\equiv\frac{q_\infty SC_L}{mg} \end{aligned}

である。

与えられた揚力のつり合い式を代入すると、

\begin{aligned} n &=\frac{q_\infty SC_L}{mg} \\ &\simeq\frac{m(\Omega_0V_0\sin\phi+g\cos\phi)}{mg} \\ &=\frac{\Omega_0V_0}{g}\sin\phi+\cos\phi \end{aligned}

となる。

ここで、横力無視の近似から導出した

\begin{aligned} \tan\phi\simeq\frac{\Omega_0V_0}{g} \end{aligned}

を用いると、

\begin{aligned} n &\simeq\tan\phi\sin\phi+\cos\phi \\ &=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}\sin\phi+\cos\phi \\ &=\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}+\frac{\cos^2\phi}{\cos\phi} \\ &=\frac{\sin^2\phi+\cos^2\phi}{\cos\phi} \\ &=\frac{1}{\cos\phi} \end{aligned}

したがって、協調旋回における荷重倍数は、

\begin{aligned} n\simeq\frac{1}{\cos\phi} \end{aligned}

となる。

これは、協調旋回でよく使われる荷重倍数の近似式である。

ピッチトリムから迎角 \(\alpha\) を求める

バンク角 \(\phi\) が求まると、無次元ピッチレートは

\begin{aligned}
\hat{q}
&\simeq\frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi \\
&=\frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}
\end{aligned}

である。

ピッチトリム \(C_m=0\) より、

\begin{aligned} \delta_e=-\frac{C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}}{C_{m\delta_e}} \end{aligned}

である。

これを揚力係数

\begin{aligned} C_L=C_{L0}+C_{L\alpha}\alpha+C_{L\hat{q}}\hat{q}+C_{L\delta_e}\delta_e \end{aligned}

に代入すると、

\begin{aligned} C_L=C_{L0}-\frac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m0}+\left(C_{L\alpha}-\frac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\alpha}\right)\alpha+\left(C_{L\hat{q}}-\frac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\hat{q}}\right)\hat{q} \end{aligned}

となる。

これを \(\alpha\) について解くと、

\begin{aligned} \alpha\simeq\frac{(n-1)C_{m\delta_e}C_{L0}+C_{L\delta_e}C_{m0}-(C_{m\delta_e}C_{L\hat{q}}-C_{L\delta_e}C_{m\hat{q}})\hat{q}}{C_{m\delta_e}C_{L\alpha}-C_{L\delta_e}C_{m\alpha}} \end{aligned}

となる。

高度維持条件からピッチ角 \(\theta\) を求める

協調旋回では \(\beta=0\) なので、高度維持条件は

\begin{aligned} \tan\theta=\tan\alpha\cos\phi \end{aligned}

である。

小迎角・小ピッチ角では、

\begin{aligned} \theta\simeq\alpha\cos\phi \end{aligned}

となる。

さらに、荷重倍数の近似式を用いると、

\begin{aligned} \theta\simeq\alpha\cos\phi=\frac{\alpha}{n} \end{aligned}

である。

無次元角速度を求める

小迎角・小ピッチ角のもとで、無次元角速度は

\begin{aligned} \hat{p} &=-\frac{\Omega_0b}{2V_0}\sin\theta \simeq-\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha\cos\phi, \\ \hat{q} &=\frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi\cos\theta \simeq\frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi, \\ \hat{r} &=\frac{\Omega_0b}{2V_0}\cos\phi\cos\theta \simeq\frac{\Omega_0b}{2V_0}\cos\phi \end{aligned}

である。

エレベータ舵角を求める

ピッチトリムから、

\begin{aligned} \delta_e=-\frac{C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}}{C_{m\delta_e}} \end{aligned}

である。

\(\alpha\) 、 \(\hat{q}\) を代入して整理すると、

\begin{aligned}
\delta_e\simeq-\frac{C_{m0}C_{L\alpha}+(n-1)C_{m\alpha}C_{L0}+(C_{m\hat{q}}C_{L\alpha}-C_{m\alpha}C_{L\hat{q}})\frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}{C_{m\delta_e}C_{L\alpha}-C_{L\delta_e}C_{m\alpha}}
\end{aligned}

となる。

エルロン・ラダー舵角を求める

イナーシャカップリングを無視した横・方向の近似モーメント条件

\begin{aligned} C_l &=0, \\ C_n &=0 \end{aligned}

に、滑りなし条件 \(\beta=0\) を代入すると、

\begin{aligned} C_{l\delta_a}\delta_a+C_{l\delta_r}\delta_r &=-(C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat{r}}\hat{r}), \\ C_{n\delta_a}\delta_a+C_{n\delta_r}\delta_r &=-(C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}) \end{aligned}

である。

これを \(\delta_a\) と \(\delta_r\) について連立させて解くと、

\begin{aligned} \delta_a &=\frac{-(C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat{r}}\hat{r})C_{n\delta_r}+C_{l\delta_r}(C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r})}{C_{l\delta_a}C_{n\delta_r}-C_{l\delta_r}C_{n\delta_a}}, \\ \delta_r &=\frac{-C_{l\delta_a}(C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r})+C_{n\delta_a}(C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat{r}}\hat{r})}{C_{l\delta_a}C_{n\delta_r}-C_{l\delta_r}C_{n\delta_a}} \end{aligned}

である。

推力を求める

推力は \(X\) 方向力のつり合い、

\begin{aligned} T=m(\Omega_0V_0\sin\alpha\sin\phi\cos\theta+g\sin\theta)-q_\infty SC_X \end{aligned}

から求める。

\begin{aligned} C_X=-C_D\cos\alpha+C_L\sin\alpha \end{aligned}

より、

\begin{aligned} T=m(\Omega_0V_0\sin\alpha\sin\phi\cos\theta+g\sin\theta)+q_\infty S(C_D\cos\alpha-C_L\sin\alpha) \end{aligned}

である。

近似式では、揚力のつり合いから

\begin{aligned} C_L\simeq\frac{m(\Omega_0V_0\sin\phi+g\cos\phi)}{q_\infty S} \end{aligned}

と評価する。

ここで、抗力係数は、

\begin{aligned} C_D=C_{D0}+\frac{C_L^2}{\pi eAR} \end{aligned}

であるため、

\begin{aligned} T\simeq m(\Omega_0V_0\sin\alpha\sin\phi\cos\theta+g\sin\theta)+q_\infty S[C_D\cos\alpha-C_L\sin\alpha] \end{aligned}

である。

横滑りあり旋回

ここからは、横滑りのある定常・高度維持旋回について考えてみる。

ここまで、協調旋回として \(\beta=0\) を固定して考えてきたが、実際の旋回では、横滑り角がゼロではない場合もある。

この記事では、横滑りあり旋回について slip turn / skid turn という表現を用いる。

slip turn とは、旋回時にラダーが足りなかったときや、エルロンとラダーをクロスコントロールしたときに生じる、安全な方の横滑りで、skid turn とは、旋回時にラダーを踏みすぎたときに陥る、機首が旋回の内側を向き、スピンに入りやすくなる恐ろしいほうの横滑りである。

日本語では 内滑り旋回 / 外滑り旋回 という言葉が用いられるが、何に対して何が 内/外 なのかがわかりにくい（というか覚えられない）ので、この記事では使わない。

横滑りあり旋回では、固定条件を

\begin{aligned} V &= V_0, \\ \phi &= \phi_0, \\ \beta &= \beta_0 \end{aligned}

とし、あるバンク角 \(\phi_0\) において、\(\beta_0\) があると、旋回率 \(\Omega\) がどのように変化するかを考える。

それではいってみよう

横方向力のつり合いから見た旋回率

横方向の力のつり合いは、固定条件 \(V=V_0, \phi=\phi_0, \beta=\beta_0\) のもとで、

\begin{aligned} q_\infty S(C_{Y\beta}\beta_0+C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat{r}}\hat{r}+C_{Y\delta_a}\delta_a+C_{Y\delta_r}\delta_r)=m[\Omega V_0\cos\beta_0(\cos\phi_0\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi_0\cos\theta] \end{aligned}

である。

ここに、

\begin{aligned} \hat{p} &=-\frac{\Omega b}{2V_0}\sin\theta, \\ \hat{r} &=\frac{\Omega b}{2V_0}\cos\phi_0\cos\theta \end{aligned}

を代入して、\(\Omega\) について整理すると

\begin{aligned} \Omega=\frac{mg\sin\phi_0\cos\theta+q_\infty S(C_{Y\beta}\beta_0+C_{Y\delta_a}\delta_a+C_{Y\delta_r}\delta_r)}{mV_0\cos\beta_0(\cos\phi_0\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-q_\infty S\frac{b}{2V_0}(-C_{Y\hat{p}}\sin\theta+C_{Y\hat{r}}\cos\phi_0\cos\theta)} \end{aligned}

である。

この式では、分子は主に重力横成分と横滑り・舵角による空力横力を表し、分母は旋回率に比例する慣性項と動微係数項を表している。

ここで、\(\delta_a\)、\(\delta_r\) が式の中に残っているが、この後の式展開で影響が小さいとして無視するので、ひとまずこのままにしておく。

厳密な \(\delta_a\)、\(\delta_r\) を求めたいなら、前半の協調旋回で説明したように、残りの式も含めた連立方程式を解けばよい。

小角近似による旋回率式

横方向力から評価した旋回率式に、段階的に近似を加える。

まず、小迎角・小ピッチ角近似として、

\begin{aligned} \alpha\ll1, \qquad \theta\ll1 \end{aligned}

\begin{aligned}
\cos\alpha&\simeq1, \\
\sin\alpha&\simeq\alpha, \\
\cos\theta&\simeq1, \\
\sin\theta&\simeq\theta \\
\end{aligned}

を仮定する。

高度維持条件は、

\begin{aligned} \theta\simeq\alpha\cos\phi_0+\tan\beta_0\sin\phi_0 \end{aligned}

となる。

したがって、小迎角・小ピッチ角近似では、

\begin{aligned} \Omega\simeq\frac{mg\sin\phi_0+q_\infty S(C_{Y\beta}\beta_0+C_{Y\delta_a}\delta_a+C_{Y\delta_r}\delta_r)}{mV_0\cos\beta_0\cos\phi_0-q_\infty S\frac{b}{2V_0}[-C_{Y\hat{p}}(\alpha\cos\phi_0+\tan\beta_0\sin\phi_0)+C_{Y\hat{r}}\cos\phi_0]} \end{aligned}

となる（分母に出てくる \(\theta\alpha\) は二次の微小量なので落とす）。

さらに小横滑り角近似として、

\begin{aligned} \beta_0\ll1 \end{aligned}

\begin{aligned}
\cos\beta_0&\simeq1, \\
\tan\beta_0&\simeq\beta_0 \\
\end{aligned}

を仮定すると、

\begin{aligned} \theta\simeq\alpha\cos\phi_0+\beta_0\sin\phi_0
\end{aligned}

となり、旋回率は

\begin{aligned} \Omega\simeq\frac{mg\sin\phi_0+q_\infty S(C_{Y\beta}\beta_0+C_{Y\delta_a}\delta_a+C_{Y\delta_r}\delta_r)}{mV_0\cos\phi_0-q_\infty S\frac{b}{2V_0}[-C_{Y\hat{p}}(\alpha\cos\phi_0+\beta_0\sin\phi_0)+C_{Y\hat{r}}\cos\phi_0]} \end{aligned}

となる。

さらに \(C_{Y\hat{p}}\hat{p}\) と \(C_{Y\hat{r}}\hat{r}\) の横力への寄与が小さいとして無視すると、

\begin{aligned}
\Omega
&\simeq\frac{mg\sin\phi_0+q_\infty S(C_{Y\beta}\beta_0+C_{Y\delta_a}\delta_a+C_{Y\delta_r}\delta_r)}{mV_0\cos\phi_0} \\
&\simeq\frac{g}{V_0}\tan\phi_0+\frac{q_\infty S}{mV_0\cos\phi_0}(C_{Y\beta}\beta_0+C_{Y\delta_a}\delta_a+C_{Y\delta_r}\delta_r)
\end{aligned}

である。

さらに、\(C_{Y\delta_a}\delta_a\) と \(C_{Y\delta_r}\delta_r\) の横力への寄与も無視すると、横滑り角による直接横力だけが残り、

\begin{aligned}
\Omega
&\simeq\frac{mg\sin\phi_0+q_\infty SC_{Y\beta}\beta_0}{mV_0\cos\phi_0} \\
&\simeq\frac{g}{V_0}\tan\phi_0+\frac{q_\infty S}{mV_0\cos\phi_0}C_{Y\beta}\beta_0
\end{aligned}

である。

協調旋回の小迎角近似は、

\begin{aligned} \Omega_{\mathrm{coord}}\simeq\frac{g}{V_0}\tan\phi_0 \end{aligned}

であるため、横滑りによる旋回率は、

\begin{aligned}
\Omega=\Omega_{\mathrm{coord}}+\frac{q_\infty S}{mV_0\cos\phi_0}C_{Y\beta}\beta_0
\end{aligned}

である。

通常のバンク角範囲では \(\cos\phi_0>0\) 、通常の航空機では一般に \(C_{Y\beta}<0\) なので、

\begin{aligned} \beta_0>0 &\Rightarrow \Omega<\Omega_{\mathrm{coord}}, \\ \beta_0=0 &\Rightarrow \Omega=\Omega_{\mathrm{coord}}, \\ \beta_0<0 &\Rightarrow \Omega>\Omega_{\mathrm{coord}} \end{aligned}

となる。

つまり、

• slip 側では旋回率が小さくなり、旋回半径は大きくなりやすい。
• skid 側では旋回率が大きくなり、旋回半径は小さくなりやすい。

ということがわかる。

数値例

ここからは、Grob G103A を対象として、横滑り角による旋回率の変化を数値計算で確認する。

数値例を計算するプログラムの詳細は、「航空機の定常旋回パラメータを計算する Python スクリプト」に譲る。

以下の数値例では、

\begin{align} V &= 30\ \mathrm{m/s}=108\ \mathrm{km/h}, \\ \phi &= 30\ \mathrm{deg}, \\ T &= 0 \end{align}

を共通条件とする。

ここでは推力を \(T=0\) に固定し、高度維持条件を課していない。そのため、以下の計算結果は無動力の定常降下旋回であり、結果として降下率が求められる。

符号は次のように定義する。

\begin{align} \phi &> 0 &&:\text{右バンク}, \\ \Omega &> 0 &&:\text{右旋回}, \\ \delta_e &> 0 &&:\text{ピッチダウン}, \\ \delta_a &> 0 &&:\text{左ロール}, \\ \delta_r &> 0 &&:\text{左ヨー} \end{align}

数値例1：横滑りなしの協調旋回

まず、横滑り角を

\begin{align} \beta=0\ \mathrm{deg} \end{align}

とした協調旋回を計算する。

パラメータ	計算結果
速度 \(V\)	\(30\ \mathrm{m/s}=108\ \mathrm{km/h}\)
バンク角 \(\phi\)	\(30\ \mathrm{deg}\)
横滑り角 \(\beta\)	\(0\ \mathrm{deg}\)
迎角 \(\alpha\)	\(3.452\ \mathrm{deg}\)
ピッチ角 \(\theta\)	\(1.276\ \mathrm{deg}\)
旋回率 \(\Omega\)	\(10.847\ \mathrm{deg/s}\)
エレベータ舵角 \(\delta_e\)	\(-4.361\ \mathrm{deg}\)
エルロン舵角 \(\delta_a\)	\(1.016\ \mathrm{deg}\)
ラダー舵角 \(\delta_r\)	\(-2.912\ \mathrm{deg}\)
降下率	\(0.897\ \mathrm{m/s}\)

今回の Grob G103A モデルと飛行条件では、定常状態を維持するために、エレベータを引き、わずかに左ロール方向のエルロンと右ヨー方向のラダーを使用する結果となった。

最大絶対残差は、

\begin{align} 1.541014\times10^{-9} \end{align}

であり、数値解は十分に収束している。

数値例2：横滑り角 10 deg の slip turn

次に、同じ速度・バンク角で、

\begin{align} \beta=10\ \mathrm{deg} \end{align}

とした slip turn を計算する。

パラメータ	計算結果
速度 \(V\)	\(30\ \mathrm{m/s}=108\ \mathrm{km/h}\)
バンク角 \(\phi\)	\(30\ \mathrm{deg}\)
横滑り角 \(\beta\)	\(10\ \mathrm{deg}\)
迎角 \(\alpha\)	\(3.385\ \mathrm{deg}\)
ピッチ角 \(\theta\)	\(6.270\ \mathrm{deg}\)
旋回率 \(\Omega\)	\(10.449\ \mathrm{deg/s}\)
エレベータ舵角 \(\delta_e\)	\(0.013\ \mathrm{deg}\)
エルロン舵角 \(\delta_a\)	\(-0.537\ \mathrm{deg}\)
ラダー舵角 \(\delta_r\)	\(-0.070\ \mathrm{deg}\)
降下率	\(0.870\ \mathrm{m/s}\)

協調旋回の旋回率

\begin{align} \Omega_{\mathrm{coord}}=10.847\ \mathrm{deg/s} \end{align}

に対して、slip turn の旋回率は、

\begin{align} \Omega_{\mathrm{slip}}=10.449\ \mathrm{deg/s} \end{align}

である。したがって、今回の計算結果は、前節で示した

\begin{align} \beta>0 \Rightarrow \Omega<\Omega_{\mathrm{coord}} \end{align}

という関係と整合する。

ラダー舵角は、協調旋回の \(\delta_r=-2.912\ \mathrm{deg}\) に対して \(\delta_r=-0.070\ \mathrm{deg}\) であり、ラダーが足りていない。

最大絶対残差は、

\begin{align} 2.147733\times10^{-9} \end{align}

であり、数値解は十分に収束している。

数値例3：横滑り角 -10 deg の skid turn

最後に、同じ速度・バンク角で、

\begin{align} \beta=-10\ \mathrm{deg} \end{align}

とした skid turn を計算する。

パラメータ	計算結果
速度 \(V\)	\(30\ \mathrm{m/s}=108\ \mathrm{km/h}\)
バンク角 \(\phi\)	\(30\ \mathrm{deg}\)
横滑り角 \(\beta\)	\(-10\ \mathrm{deg}\)
迎角 \(\alpha\)	\(3.575\ \mathrm{deg}\)
ピッチ角 \(\theta\)	\(-3.767\ \mathrm{deg}\)
旋回率 \(\Omega\)	\(11.590\ \mathrm{deg/s}\)
エレベータ舵角 \(\delta_e\)	\(-8.799\ \mathrm{deg}\)
エルロン舵角 \(\delta_a\)	\(2.535\ \mathrm{deg}\)
ラダー舵角 \(\delta_r\)	\(-5.893\ \mathrm{deg}\)
降下率	\(0.930\ \mathrm{m/s}\)

skid turn の旋回率は、

\begin{align} \Omega_{\mathrm{skid}}=11.590\ \mathrm{deg/s} \end{align}

であり、協調旋回よりも大きくなっている。したがって、今回の計算結果は、前節で示した

\begin{align} \beta<0 \Rightarrow \Omega>\Omega_{\mathrm{coord}} \end{align}

という関係と整合する。

また、3 つの数値例の中では、skid turn で最も大きなエレベータ舵角とラダー舵角が必要になっている。

最大絶対残差は、

\begin{align} 1.126731\times10^{-9} \end{align}

であり、数値解は十分に収束している。

数値例の比較

3 つの計算結果をまとめると、次のようになる。

旋回状態	横滑り角 \(\beta\)	旋回率 \(\Omega\)	降下率
coordinated turn	\(0\ \mathrm{deg}\)	\(10.847\ \mathrm{deg/s}\)	\(0.897\ \mathrm{m/s}\)
slip turn	\(10\ \mathrm{deg}\)	\(10.449\ \mathrm{deg/s}\)	\(0.870\ \mathrm{m/s}\)
skid turn	\(-10\ \mathrm{deg}\)	\(11.590\ \mathrm{deg/s}\)	\(0.930\ \mathrm{m/s}\)

したがって、このモデルと計算条件では、

\begin{align} \Omega_{\mathrm{slip}} < \Omega_{\mathrm{coord}} < \Omega_{\mathrm{skid}} \end{align}

となる。

今回の計算では、skid turn は同じ速度・バンク角の協調旋回よりも旋回率が大きくなったが、skid 側の横滑りを伴った状態で迎角が増加すると、旋回内側の翼が先に失速し、スピンへ移行する危険が高まる。

そのため、通常の旋回では横滑りを抑えた協調旋回を基本とする。

おわりに

航空機の定常・高度維持・協調旋回について説明した。