航空機のラダーのみ定常旋回

ラダーのみを用いた定常旋回について説明する。

はじめに

前記事では、定常・高度維持旋回を 10 個の主要パラメータと 7 個の条件で定式化した。

航空機の定常旋回運動の定式化

航空機の旋回運動について、6自由度運動方程式を用いて解説する。

mtkbirdman.com

2026.06.28

本記事では、エルロン舵角をゼロに固定し、ラダーのみで行う定常旋回を扱う。

ラダーのみを用いた定常旋回の条件は、

\begin{align} V &= V_0, \\ \Omega &= \Omega_0, \\ \delta_a &= 0 \end{align}

である。

すなわち、ある速度 \(V_0\)、ある旋回率 \(\Omega_0\) で、エルロン舵角をゼロに保ったまま、高度を維持して旋回するために必要な状態量と舵角を求める。

このとき未知量は、

\begin{align} \alpha,\ \beta,\ \phi,\ \theta,\ \delta_e,\ \delta_r,\ T \end{align}

の 7 個である。

ラダーのみ旋回では、ラダー舵角 \(\delta_r\) によって、ヨー方向のつり合いだけでなく、ロール方向のつり合いも満たさなければならない。

このとき、横滑り角 \(\beta\) は、力のつり合いとモーメントのつり合いから決まる。

この記事では、まず、速度 \(V_0\)、旋回率 \(\Omega_0\)、エルロン舵角 \(\delta_a=0\) を固定したときの高度維持条件、力のつり合い、モーメントのつり合いを整理し、ラダーのみ定常旋回に必要な 7 つの未知量を定式化する。

次に、小迎角・小横滑り角・小ピッチ角近似を入れ、高度維持条件からピッチ角と無次元角速度の関係を求める。さらに、ピッチトリムと鉛直方向の力のつり合いから迎角 \(\alpha\) を、ロール・ヨーのモーメントのつり合いから横滑り角 \(\beta\) を求める。最後に小バンク角近似を加え、横方向の力のつり合いをバンク角 \(\phi\) だけの一次方程式へ整理する。

ここで得られた関係を用いて、横滑り角とラダー舵角の符号、スパイラル安定性との関係について考察する。

それではいってみよう。

パラメータの定式化

ラダーのみ旋回における固定条件は、

\begin{align} V &= V_0, \\ \Omega &= \Omega_0, \\ \delta_a &= 0 \end{align}

であり、未知量は、

\begin{align} \alpha,\ \beta,\ \phi,\ \theta,\ \delta_e,\ \delta_r,\ T \end{align}

である。

まず、速度成分と無次元角速度は、

\begin{align} u &= V_0\cos\alpha\cos\beta, \\ v &= V_0\sin\beta, \\ w &= V_0\sin\alpha\cos\beta, \\ \hat{p} &= -\frac{\Omega_0 b}{2V_0}\sin\theta, \\ \hat{q} &= \frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi\cos\theta, \\ \hat{r} &= \frac{\Omega_0 b}{2V_0}\cos\phi\cos\theta \end{align}

である。

力のつり合いに必要な外力は、

\begin{align} X_{\mathrm{req}}&=m\left[\Omega_0V_0\cos\theta(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta)+g\sin\theta\right], \\ Y_{\mathrm{req}}&=m\left[\Omega_0V_0\cos\beta(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi\cos\theta\right], \\ Z_{\mathrm{req}}&=m\left[-\Omega_0V_0\sin\theta\sin\beta-\Omega_0V_0\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta-g\cos\phi\cos\theta\right] \end{align}

である。

ここで、

\begin{align} C_L &= C_{L0}+C_{L\alpha}\alpha+C_{L\hat{q}}\hat{q}+C_{L\delta_e}\delta_e, \\ C_D &= C_{D0}+\frac{C_L^2}{\pi e AR} \end{align}

とすると、7 つの未知量 \(\alpha,\beta,\phi,\theta,\delta_e,\delta_r,T\) を決める条件は、次のように書ける。

高度維持条件：

\begin{align} -\cos\alpha\cos\beta\sin\theta+\sin\beta\sin\phi\cos\theta+\sin\alpha\cos\beta\cos\phi\cos\theta=0 \end{align}

力のつり合い：

\begin{align} T-q_\infty S(C_D\cos\alpha-C_L\sin\alpha)&=m\left[\Omega_0V_0\cos\theta(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta)+g\sin\theta\right], \\ q_\infty S\left(C_{Y\beta}\beta+C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat{r}}\hat{r}+C_{Y\delta_r}\delta_r\right)&=m\left[\Omega_0V_0\cos\beta(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi\cos\theta\right], \\ q_\infty S(-C_D\sin\alpha-C_L\cos\alpha)&=m\left[-\Omega_0V_0\sin\theta\sin\beta-\Omega_0V_0\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta-g\cos\phi\cos\theta\right] \end{align}

モーメントの釣り合い：

\begin{align} 0 &= C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}+C_{m\delta_e}\delta_e, \\ 0 &= C_{l\beta}\beta+C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat{r}}\hat{r}+C_{l\delta_r}\delta_r, \\ 0 &= C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}+C_{n\delta_r}\delta_r \end{align}

以上の 7 式は、一般には非線形連立方程式となるため、代数的に解くことができない。

この近似モデルの範囲で 7 つのパラメータを求めるには、通常は数値的に連立方程式を解く必要がある。

小迎角・小横滑り角・小ピッチ角近似を入れる場合

ここからは、上で示した 7 つの式に近似を加え、ラダーのみ旋回に必要なパラメータを順に求めていく。

1. 高度維持条件から、ピッチ角 \(\theta\) と無次元角速度 \(\hat{p},\hat{q},\hat{r}\) を \(\alpha,\beta,\phi\) の関数として表す。
2. ピッチトリムと鉛直方向の力のつり合いから迎角 \(\alpha\) を \(\phi\) の関数として求める。
3. ロール・ヨーのモーメントのつり合いからラダー舵角 \(\delta_r\) を消去し、横滑り角 \(\beta\) を \(\alpha\) と \(\phi\) の関数として求める。この段階では、横方向の力のつり合いが \(\phi\) に関する非線形方程式となる。
4. さらに小バンク角近似を加え、\(\alpha\) と \(\beta\) を \(\phi\) の一次式として整理する。
5. 横方向の力のつり合いから \(\phi\) を求め、\(\phi\to\alpha\to\beta\to\theta\to\delta_e,\delta_r,T \)

の順で残りのパラメータを回収する。

ここでは、次の近似を入れる。

• 小迎角・小ピッチ角・小横滑り角：\(\alpha\ll1,\ \theta\ll1,\ \beta\ll1\)
• 抗力の鉛直成分を無視

それでは順番に説明してく

高度維持条件と無次元角速度

高度維持条件を一次近似すると、

\begin{align} -\theta+\beta\sin\phi+\alpha\cos\phi=0 \end{align}

である。 したがって、

\begin{align} \theta=\alpha\cos\phi+\beta\sin\phi \end{align}

となる。 この式を

\begin{align}
\hat{p} &= -\frac{\Omega_0 b}{2V_0}\sin\theta
&&\simeq -\frac{\Omega_0 b}{2V_0}\theta\\
\hat{q} &= \frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi\cos\theta
&&\simeq \frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi\\
\hat{r} &= \frac{\Omega_0 b}{2V_0}\cos\phi\cos\theta
&&\simeq \frac{\Omega_0 b}{2V_0}\cos\phi
\end{align}

に代入すると、

\begin{align}
\hat{p}&=-\frac{\Omega_0b}{2V_0}(\alpha\cos\phi+\beta\sin\phi) \\
\hat{q} &= \frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi, \\ \hat{r} &= \frac{\Omega_0b}{2V_0}\cos\phi
\end{align}

である。

ピッチトリムと鉛直方向の力のつり合いから迎角 \(\alpha\) を求める

ピッチトリム \(C_m=0\) から \(\delta_e\) を消去する。 揚力係数を、

\begin{align} C_L=C_{L0}+C_{L\alpha}\alpha+C_{L\hat{q}}\hat{q}+C_{L\delta_e}\delta_e \end{align}

とし、

\begin{align} \delta_e=-\frac{C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}}{C_{m\delta_e}} \end{align}

を代入すると、

\begin{align} C_L &=C_{L0}-\frac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m0} +\left(C_{L\alpha}-\frac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\alpha}\right)\alpha +\left(C_{L\hat{q}}-\frac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\hat{q}}\right)\frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi \end{align}

となる。

さらに、抗力の鉛直方向成分を無視して \(C_Z\simeq-C_L\) とし、揚力が主に重量と向心加速度を支えるとみなすと、Z方向の力の釣り合いより

\begin{align} q_\infty S C_L=m(\Omega_0V_0\sin\phi+g\cos\phi) \end{align}

である。

したがって、\(\alpha\) は \(\phi\) の関数として、

\begin{align} \alpha=\frac{ \dfrac{m(\Omega_0V_0\sin\phi+g\cos\phi)}{q_\infty S} -C_{L0} +\dfrac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m0} -\left(C_{L\hat{q}}-\dfrac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\hat{q}}\right)\dfrac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi }{ C_{L\alpha}-\dfrac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\alpha} } \end{align}

である。

ロール・ヨーのモーメントのつり合いから横滑り角 \(\beta\) を求める

次に、ヨーイング方向のモーメントの釣り合い式から \(\delta_r\) を消去し、それをロール条件へ代入する。

ヨーイング方向のモーメントの釣り合い式は、

\begin{align} 0=C_{n\beta}\beta +C_{n\hat{p}}\hat{p} +C_{n\hat{r}}\hat{r} +C_{n\delta_r}\delta_r \end{align}

である。ここでは \(C_{n\delta_r}\neq0\) として、これを \(\delta_r\) について解くと、

\begin{align} \delta_r =-\frac{C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}}{C_{n\delta_r}} \end{align}

となる。

一方、ロール方向のモーメントの釣り合い式は、

\begin{align} 0 =C_{l\beta}\beta +C_{l\hat{p}}\hat{p} +C_{l\hat{r}}\hat{r} +C_{l\delta_r}\delta_r \end{align}

である。ここに先ほどの \(\delta_r\) を代入すると、

\begin{align} 0 &=C_{l\beta}\beta +C_{l\hat{p}}\hat{p} +C_{l\hat{r}}\hat{r} -\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}} \left(C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}\right) \\ &=\left(C_{l\beta}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta}\right)\beta +\left(C_{l\hat{p}}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\hat{p} +\left(C_{l\hat{r}}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\hat{r} \end{align}

となる。

したがって、

\begin{align} \left(C_{l\beta}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta}\right)\beta +\left(C_{l\hat{p}}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\hat{p} +\left(C_{l\hat{r}}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\hat{r} =0 \end{align}

である。 ここに、\(\hat{p}\) と \(\hat{r}\) を代入し、\(\beta\) について書き直すと、

\begin{align} \beta=\frac{ \left(C_{l\hat{p}}-\dfrac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha\cos\phi -\left(C_{l\hat{r}}-\dfrac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\cos\phi }{ C_{l\beta}-\dfrac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta} -\left(C_{l\hat{p}}-\dfrac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\sin\phi } \end{align}

である。

このように、横力条件をそのまま使う場合、\(\phi\) は一般に非線形方程式の解として求めることになる。

小バンク角近似を入れる

そこで、さらに小バンク角近似

\begin{align}
\sin\phi\simeq\phi,\quad \cos\phi\simeq1
\end{align}

を入れると、\(\alpha\) と \(\beta\) が \(\phi\) の一次式として扱えるようになるので、最終的に横力条件が \(\phi\) だけの一次方程式になる。

このとき、高度維持条件は、

\begin{align} \theta=\alpha+\beta\phi \end{align}

である。

一次近似では \(\beta\phi\) は二次の微小量なので、さらに一次までにそろえるなら、

\begin{align} \theta\simeq\alpha \end{align}

と近似できる。

無次元角速度は、

\begin{align} \hat{p} &\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha, \\ \hat{q} &\simeq \frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\phi, \\ \hat{r} &\simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \end{align}

となる。

この近似では、ピッチトリムから \(\delta_e\) を消去した揚力釣り合いにより、\(\alpha\) は \(\phi\) の一次式として、

\begin{align} \alpha=\frac{ \dfrac{m(g+\Omega_0V_0\phi)}{q_\infty S} -C_{L0} +\dfrac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m0} -\left(C_{L\hat{q}}-\dfrac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\hat{q}}\right)\dfrac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\phi }{ C_{L\alpha}-\dfrac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\alpha} } \end{align}

となる。

また、ヨーイング方向のモーメントの釣り合い式から \(\delta_r\) を消去し、ロール条件へ代入すると、\(\beta\) は \(\alpha\) を介して求められる。

先ほど得た関係式

\begin{align} \left(C_{l\beta}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta}\right)\beta +\left(C_{l\hat{p}}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\hat{p} +\left(C_{l\hat{r}}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\hat{r} =0 \end{align}

に、小バンク角近似で得た

\begin{align} \hat{p}\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha, \qquad \hat{r}\simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \end{align}

を代入すると、

\begin{align} 0 &=\left(C_{l\beta}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta}\right)\beta -\left(C_{l\hat{p}}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha +\left(C_{l\hat{r}}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\frac{\Omega_0b}{2V_0} \end{align}

となる。これを \(\beta\) について解き、分子分母に \(C_{n\delta_r}\) を掛けると、

\begin{align} \beta=\frac{ \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{p}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha -\left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{r}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta} } \end{align}

となる。

横方向の力のつり合いからバンク角 \(\phi\) を求める

横力条件は、小バンク角近似において、

\begin{align} q_\infty SC_Y=m(\Omega_0V_0-g\phi) \end{align}

である。

ラダーのみ旋回では、ヨーイング方向のモーメントの釣り合い式で \(\delta_r\) を消去すると、横力係数も \(\beta\)、\(\hat p\)、\(\hat r\) で書ける。

横力係数は、

\begin{align} C_Y =C_{Y\beta}\beta +C_{Y\hat{p}}\hat{p} +C_{Y\hat{r}}\hat{r} +C_{Y\delta_r}\delta_r \end{align}

である。ここに、ヨーイング方向のモーメントの釣り合い式から得た

\begin{align} \delta_r =-\frac{C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}}{C_{n\delta_r}} \end{align}

を代入すると、

\begin{align} C_Y &=C_{Y\beta}\beta +C_{Y\hat{p}}\hat{p} +C_{Y\hat{r}}\hat{r} -\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}} \left(C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}\right) \\ &=\left(C_{Y\beta}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta}\right)\beta +\left(C_{Y\hat{p}}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\hat{p} +\left(C_{Y\hat{r}}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\hat{r} \end{align}

となる。

ここに小バンク角近似の

\begin{align} \hat{p}\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha, \qquad \hat{r}\simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \end{align}

を代入すると、

\begin{align} C_Y &=\left(C_{Y\beta}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta}\right)\beta -\left(C_{Y\hat{p}}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha +\left(C_{Y\hat{r}}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\frac{\Omega_0b}{2V_0} \end{align}

である。

ここに、上の \(\alpha\) と \(\beta\) を代入すると、横力条件は \(\phi\) だけの一次方程式になる。

残りのパラメータを求める

この一次方程式を解けば、\(\phi\) が代数的に求まる。その後、

\begin{align} \phi\to\alpha\to\beta\to\theta\to\delta_e,\delta_r,T \end{align}

の順で、残り全てのパラメータを回収できる。

ラダーのみ旋回中の横滑り角

ここからは、得られたパラメータについて考察し、ラダーのみ旋回についての理解を深めていく。

小バンク角近似で得た横滑り角は、

\begin{align} \beta=\frac{ \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{p}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha -\left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{r}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta} } \end{align}

である。

ラダーによる直接ローリングモーメント \(C_{l\delta_r}\) および 迎角に依存する項 \(C_{l\hat{p}}\alpha\) 、 \(C_{n\hat{p}}\alpha\) が小さい場合、上式は

\begin{align}
\beta\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0}\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}}
\end{align}

となる。

右旋回では \(\Omega_0>0\) であり、\(b>0\)、\(V_0>0\) なので、

\begin{align} \frac{\Omega_0b}{2V_0}>0 \end{align}

であり、通常の航空機では、

\begin{align} C_{l\beta}<0,\qquad C_{l\hat{r}}>0 \end{align}

であるので、右旋回、右バンクのラダーのみ定常旋回では、通常、

\begin{align}
\beta
\simeq-\frac{\Omega_0b}{2V_0}\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}}>0
\end{align}

となる。

右旋回では右側が旋回内側であるため、\(\beta>0\) は右側、すなわち旋回内側から相対風を受ける状態であり、機首は旋回外側を向く slip turn である。

ラダーのみ旋回では基本的に slip turn になるので、エルロンを用いた協調旋回よりも同じバンク角における旋回率は悪くなる。

また、\(\beta\) の近似式

\begin{align} \beta\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0}\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}} \end{align}

より、ラダーのみ旋回は、

• \(C_{l\hat{r}}\) によって機体をバンクさせようとする効果
• \(C_{l\beta}\) によってバンクを復元させようとする効果

のバランスによって成り立っていることが分かる。

よって、ラダーのみ定常旋回中の横滑り角は、\(C_{l\hat{r}}\) が大きいほど \(\beta\) が大きく、\(|C_{l\beta}|\) が大きいほど \(\beta\) は小さくなる。

ラダーのみ旋回中のラダー舵角

ヨーイング方向のモーメントのつり合い式から、ラダー舵角は、

\begin{align} \delta_r =-\frac{ C_{n\beta}\beta +C_{n\hat{p}}\hat{p} +C_{n\hat{r}}\hat{r} }{C_{n\delta_r}} \end{align}

である。

ここに、小バンク角近似で得た横滑り角

\begin{align} \beta=\frac{ \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{p}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha -\left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{r}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta} } \end{align}

および、無次元角速度

\begin{align} \hat{p} &\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha, \\ \hat{r} &\simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \end{align}

を代入して整理すると、

\begin{align}
\delta_r
&\simeq -\frac{1}{C_{n\delta_r}} \Biggl[ C_{n\beta} \frac{ \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{p}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha -\left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{r}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta} }
- C_{n\hat{p}}\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha + C_{n\hat{r}}\frac{\Omega_0b}{2V_0} \Biggr]
\\\\
&\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{1}{ C_{n\delta_r} \left(C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta}\right) }\times \Biggl[ C_{n\beta} \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{p}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{p}}\right)\alpha -C_{n\beta} \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{r}}\right) \qquad -C_{n\hat{p}} \left(C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta}\right)\alpha + C_{n\hat{r}} \left(C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta}\right) \Biggr]
\\\\
&\simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{ \left( C_{l\beta}C_{n\hat{p}} -C_{n\beta}C_{l\hat{p}} \right)\alpha + C_{n\beta}C_{l\hat{r}} -C_{l\beta}C_{n\hat{r}} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta} -C_{l\delta_r}C_{n\beta} }
\end{align}

となる。

小バンク角近似におけるラダー舵角

小バンク角近似で得たラダー舵角

\begin{align} \delta_r \simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{ \left( C_{l\beta}C_{n\hat{p}} -C_{n\beta}C_{l\hat{p}} \right)\alpha + C_{n\beta}C_{l\hat{r}} -C_{l\beta}C_{n\hat{r}} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta} -C_{l\delta_r}C_{n\beta} } \end{align}

に、さらに近似を適用していく。

まず、ラダーによる直接ローリングモーメントを副次的として、

\begin{align} C_{l\delta_r}\simeq0 \end{align}

とすると、

\begin{align} \delta_r \simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{ \left( C_{l\beta}C_{n\hat{p}} -C_{n\beta}C_{l\hat{p}} \right)\alpha + C_{n\beta}C_{l\hat{r}} -C_{l\beta}C_{n\hat{r}} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta} } \end{align}

である。

さらに、迎角に依存する項が小さいとして、

\begin{align} \left|C_{l\hat{p}}\alpha\right| &\ll \left|C_{l\hat{r}}\right|, \\ \left|C_{n\hat{p}}\alpha\right| &\ll \left|C_{n\hat{r}}\right| \end{align}

とすれば、

\begin{align} \delta_r \simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{ C_{n\beta}C_{l\hat{r}} -C_{l\beta}C_{n\hat{r}} }{ C_{l\beta}C_{n\delta_r} } \end{align}

となる。

スパイラル安定性との関係

分子のマイナスをくくりだすと、ラダー舵角は

\begin{align} \delta_r \simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{ C_{l\beta}C_{n\hat{r}} -C_{n\beta}C_{l\hat{r}} }{ C_{l\beta}C_{n\delta_r} } \end{align}

である。

ここで、分子の

\begin{align}
C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}
\end{align}

は、微小擾乱理論におけるスパイラルモードの近似安定判別式である。

一方、同じような近似で求めた横滑り角は、

\begin{align} \beta \simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}} \end{align}

である。

両式から \(\Omega_0b/(2V_0)\) を消去すると、ラダー舵角と横滑り角の関係は、

\begin{align} \frac{\delta_r}{\beta} \simeq \frac{ C_{l\beta}C_{n\hat{r}} -C_{n\beta}C_{l\hat{r}} }{ C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}} } \end{align}

となる。

通常の航空機では、

\begin{align} C_{n\delta_r}<0,\qquad C_{l\hat{r}}>0 \end{align}

であるため、

\begin{align} C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}<0 \end{align}

である。したがって、

\begin{align} \operatorname{sgn}\left(\frac{\delta_r}{\beta}\right) =-\operatorname{sgn}\left( C_{l\beta}C_{n\hat{r}} -C_{n\beta}C_{l\hat{r}} \right) \end{align}

となる。

つまり、

\begin{align} \text{スパイラル安定} &\Rightarrow \frac{\delta_r}{\beta}<0, \\ \text{スパイラル中立} &\Rightarrow \frac{\delta_r}{\beta}\simeq0, \\ \text{スパイラル不安定} &\Rightarrow \frac{\delta_r}{\beta}>0 \end{align}

である（\(\delta_r\)は左ヨーイングが正）。

前節で示したように、右旋回のラダーのみ定常旋回では通常 \(\beta>0\) となる。

したがって、右バンク、右旋回においては、

\begin{align} \text{スパイラル安定} &\Rightarrow \delta_r<0, \\ \text{スパイラル中立} &\Rightarrow \delta_r\simeq0, \\ \text{スパイラル不安定} &\Rightarrow \delta_r>0 \end{align}

である。

このように、ラダーのみ旋回におけるラダー舵角の符号はスパイラルモードの安定性に対応し、ラダー舵角の大きさはスパイラルモードの安定性判別式の絶対値に対応している。

旋回性能と横転性能

ラダーのみで旋回する航空機を評価するときは、定常旋回、旋回性能、横転性能を分けて考える必要がある。

ラダーのみ定常旋回

本記事で扱ったラダーのみ定常旋回は、指定した速度と旋回率に対して、どのような横滑り角、バンク角、ラダー舵角が必要になるかを求めるトリム問題である。

固定条件は、

\begin{align} V &= V_0, \\ \Omega &= \Omega_0, \\ \delta_a &= 0 \end{align}

であり、必要なラダー舵角 \(\delta_r\) を結果として求める。

この計算により、指定した旋回状態が定常的につり合うか、その状態を維持するためにどの程度の横滑り角と舵角が必要になるかを確認できる。

旋回性能

一方で、ラダーのみで旋回する航空機の「旋回性能」としては、使用するラダーの最大舵角に対して、定常的にどのくらい大きなバンク角と旋回率を得られるかを評価する必要がある。

このときの固定条件は、

\begin{align} V &= V_0, \\ \delta_a &= 0, \\ \delta_r &= \delta_{r,max} \end{align}

であり、旋回率 \(\Omega\)、バンク角 \(\phi\)、横滑り角 \(\beta\) などを結果として求める。

旋回性能については、次の記事「航空機のラダーのみ旋回における旋回性能」で詳しく説明する。

横転性能

定常的につり合う旋回状態が存在しても、ラダーを入力した直後から直ちにその状態へ移るわけではない。

ラダー入力後には、横滑り角とヨーレートが生じ、上反角効果とヨーレートロールを通じてロール率が発達する。そのロール率が時間積分されることで、バンク角が形成される。

ラダーのみで旋回する航空機の「横転性能」としては、この過渡的なバンク角の立ち上がりを評価する必要がある。

横転性能については、次の記事「ラダーのみ旋回の横転性能」で詳しく説明する。

おわりに

ラダーのみを用いた定常旋回について説明した。