航空機のラダーのみ定常旋回

ラダーのみを用いた定常旋回について説明する。

はじめに
ラダーのみ定常旋回の定式化
微小角近似を入れる
ラダーのみ旋回中の横滑り角
ラダーのみ旋回中のラダー舵角
おわりに

はじめに

前記事では、定常・高度維持旋回を 10 個の主要パラメータと 7 個の条件で定式化した。

航空機の定常旋回運動

航空機の旋回運動について、6自由度運動方程式を用いて解説する。

本記事では、エルロン舵角をゼロに固定し、ラダーのみで行う定常旋回を扱う。

ラダーのみを用いた定常旋回の条件は、

\begin{align} V &= V_0, \\ \Omega &= \Omega_0, \\ \delta_a &= 0 \end{align}

である。

すなわち、ある速度 \(V_0\)、ある旋回率 \(\Omega_0\) で、エルロン舵角をゼロに保ったまま、高度を維持して旋回するために必要な状態量と舵角を求める。

このとき未知量は、

\begin{align} \alpha,\ \beta,\ \phi,\ \theta,\ \delta_e,\ \delta_r,\ T \end{align}

の 7 個である。

ラダーのみ旋回では、ラダー舵角 \(\delta_r\) によって、ヨー方向のつり合いだけでなく、ロール方向のつり合いも満たさなければならない。

このとき、横滑り角 \(\beta\) は、力のつり合いとモーメントのつり合いから決まる。

この記事の最終目的は、指定速度 \(V_0\) と指定旋回率 \(\Omega_0\) に対して、ラダーのみで旋回を行う場合のトリム状態量を求め、ラダーのみ旋回における必要ラダー舵角と横滑り角の関係を明らかにすることである。

以下では、次の順序で説明する。

ラダーのみ定常旋回を 7 未知量・7 方程式の非線形トリム問題として定式化する。
小角近似を段階的に加え、迎角、横滑り角、バンク角、舵角、推力を導く。
横滑り角を支配する \(C_{l\hat r}\) と \(C_{l\beta}\) の関係を整理する。
必要ラダー舵角に現れる簡略化したスパイラル安定性判別項を整理する。

それではいってみよう。

ラダーのみ定常旋回の定式化

ラダーのみ旋回における固定条件は、

\begin{align} V &= V_0, \\ \Omega &= \Omega_0, \\ \delta_a &= 0 \end{align}

であり、未知量は、

\begin{align} \alpha,\ \beta,\ \phi,\ \theta,\ \delta_e,\ \delta_r,\ T \end{align}

である。

まず、速度成分と無次元角速度は、

\begin{align} u &= V_0\cos\alpha\cos\beta, \\ v &= V_0\sin\beta, \\ w &= V_0\sin\alpha\cos\beta, \\ \hat{p} &= -\frac{\Omega_0 b}{2V_0}\sin\theta, \\ \hat{q} &= \frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\sin\phi\cos\theta, \\ \hat{r} &= \frac{\Omega_0 b}{2V_0}\cos\phi\cos\theta \end{align}

である。

力のつり合いに必要な外力は、

\begin{align} X_{\mathrm{req}}&=m\left[\Omega_0V_0\cos\theta(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta)+g\sin\theta\right], \\ Y_{\mathrm{req}}&=m\left[\Omega_0V_0\cos\beta(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi\cos\theta\right], \\ Z_{\mathrm{req}}&=m\left[-\Omega_0V_0\sin\theta\sin\beta-\Omega_0V_0\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta-g\cos\phi\cos\theta\right] \end{align}

である。

ここで、

\begin{align} C_L &= C_{L0}+C_{L\alpha}\alpha+C_{L\hat{q}}\hat{q}+C_{L\delta_e}\delta_e, \\ C_D &= C_{D0}+\frac{C_L^2}{\pi e AR} \end{align}

とすると、7 つの未知量 \(\alpha,\beta,\phi,\theta,\delta_e,\delta_r,T\) を決める条件は、次のように書ける。

高度維持条件：

\begin{align} -\cos\alpha\cos\beta\sin\theta+\sin\beta\sin\phi\cos\theta+\sin\alpha\cos\beta\cos\phi\cos\theta=0 \end{align}

力のつり合い：

\begin{align} T-q_\infty S(C_D\cos\alpha-C_L\sin\alpha)&=m\left[\Omega_0V_0\cos\theta(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta)+g\sin\theta\right], \\ q_\infty S\left(C_{Y\beta}\beta+C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat{r}}\hat{r}+C_{Y\delta_r}\delta_r\right)&=m\left[\Omega_0V_0\cos\beta(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi\cos\theta\right], \\ q_\infty S(-C_D\sin\alpha-C_L\cos\alpha)&=m\left[-\Omega_0V_0\sin\theta\sin\beta-\Omega_0V_0\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta-g\cos\phi\cos\theta\right] \end{align}

モーメントの釣り合い：

\begin{align} 0 &= C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}+C_{m\delta_e}\delta_e, \\ 0 &= C_{l\beta}\beta+C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat{r}}\hat{r}+C_{l\delta_r}\delta_r, \\ 0 &= C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}+C_{n\delta_r}\delta_r \end{align}

以上の 7 式は、一般には非線形連立方程式となるため、代数的に解くことができない。

この近似モデルの範囲で 7 つのパラメータを求めるには、通常は数値的に連立方程式を解く必要がある。

微小角近似を入れる

ここからは、上で示した 7 つの式に近似を加え、以下の手順でラダーのみ旋回に必要なパラメータを求めていく。

高度維持条件から、ピッチ角 \(\theta\) と無次元角速度 \(\hat{p},\hat{q},\hat{r}\) を \(\alpha,\beta,\phi\) の関数として表す。
ピッチトリムと鉛直方向の力のつり合いから迎角 \(\alpha\) を \(\phi\) の関数として求める。
ロール・ヨーのモーメントのつり合いからラダー舵角 \(\delta_r\) を消去し、横滑り角 \(\beta\) を \(\alpha\) と \(\phi\) の関数として求める。
横方向の力のつり合いから \(\phi\) を求め、\(\phi\to\alpha\to\beta\to\theta\to\delta_e,\delta_r,T \)の順で残りのパラメータを回収する。

ここでは、次の近似を入れる。

小迎角・小ピッチ角・小横滑り角・小バンク角：\(\alpha\ll1,\ \theta\ll1,\ \beta\ll1,\ \phi\ll1\)
抗力の鉛直成分を無視

それでは順番に説明してく

高度維持条件と無次元角速度

高度維持条件を一次近似すると、

\begin{align} -\theta+\beta\phi+\alpha=0 \end{align}

である。したがって、\(\beta\phi\) を2次の微小項として無視すると

\begin{align}
\theta=\alpha
\end{align}

となる。この式を

\begin{align}
\hat{p} &= -\frac{\Omega_0 b}{2V_0}\sin\theta \\
\hat{q} &= \frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\phi\cos\theta \\
\hat{r} &= \frac{\Omega_0 b}{2V_0}\cos\theta
\end{align}

に代入すると、

\begin{align}
\hat{p}&=-\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha \\
\hat{q} &= \frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\phi, \\
\hat{r} &= \frac{\Omega_0b}{2V_0}
\end{align}

である。

ピッチトリムと鉛直方向の力のつり合いから迎角 \(\alpha\) を求める

ピッチトリム \(C_m=0\) から \(\delta_e\) を消去する。揚力係数を、

\begin{align} C_L=C_{L0}+C_{L\alpha}\alpha+C_{L\hat{q}}\hat{q}+C_{L\delta_e}\delta_e \end{align}

とし、

\begin{align} \delta_e=-\frac{C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}}{C_{m\delta_e}} \end{align}

を代入すると、

\begin{align} C_L &=C_{L0}-\frac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m0} +\left(C_{L\alpha}-\frac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\alpha}\right)\alpha +\left(C_{L\hat{q}}-\frac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\hat{q}}\right)\frac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\phi \end{align}

となる。

さらに、抗力の鉛直方向成分を無視して \(C_Z\simeq-C_L\) とすると、Z方向の力の釣り合いより

\begin{align}
q_\infty S C_L &=m(\Omega_0V_0\phi+g) \\\\
C_L &= \frac{m(\Omega_0V_0\phi+g)}{q_\infty S}
\end{align}

である。

したがって、\(\alpha\) は \(\phi\) の関数として、

\begin{align}
\alpha
&=\frac{ \dfrac{m(\Omega_0V_0\phi+g)}{q_\infty S} -C_{L0} +\dfrac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m0} -\left(C_{L\hat{q}}-\dfrac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\hat{q}}\right)\dfrac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\phi }{ C_{L\alpha}-\dfrac{C_{L\delta_e}}{C_{m\delta_e}}C_{m\alpha} } \\\\
&=\frac{ \left(\dfrac{m(\Omega_0V_0\phi+g)}{q_\infty S} -C_{L0}\right)C_{m\delta_e} +C_{L\delta_e}C_{m0} -\left(C_{m\delta_e} C_{L\hat{q}}-C_{L\delta_e}C_{m\hat{q}}\right)\dfrac{\Omega_0\bar{c}}{2V_0}\phi }{C_{m\delta_e} C_{L\alpha}-C_{L\delta_e}C_{m\alpha} } \\\\
\end{align}

である。

ロール・ヨーのモーメントのつり合いから横滑り角 \(\beta\) を求める

次に、ヨーイング方向のモーメントの釣り合い式から \(\delta_r\) を消去し、それをロール条件へ代入する。

ヨーイング方向のモーメントの釣り合い式は、

\begin{align} 0=C_{n\beta}\beta +C_{n\hat{p}}\hat{p} +C_{n\hat{r}}\hat{r} +C_{n\delta_r}\delta_r \end{align}

である。ここでは \(C_{n\delta_r}\neq0\) として、これを \(\delta_r\) について解くと、

\begin{align} \delta_r =-\frac{C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}}{C_{n\delta_r}} \end{align}

となる。

一方、ロール方向のモーメントの釣り合い式は、

\begin{align} 0 =C_{l\beta}\beta +C_{l\hat{p}}\hat{p} +C_{l\hat{r}}\hat{r} +C_{l\delta_r}\delta_r \end{align}

である。ここに先ほどの \(\delta_r\) を代入すると、

\begin{align} 0 &=C_{l\beta}\beta +C_{l\hat{p}}\hat{p} +C_{l\hat{r}}\hat{r} -\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}} \left(C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}\right) \\ &=\left(C_{l\beta}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta}\right)\beta +\left(C_{l\hat{p}}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\hat{p} +\left(C_{l\hat{r}}-\frac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\hat{r} \end{align}

となる。ここに、\(\hat{p}\) と \(\hat{r}\) を代入し、\(\beta\) について書き直すと、

\begin{align}
\beta
&=\frac{ \left(C_{l\hat{p}}-\dfrac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha -\left(C_{l\hat{r}}-\dfrac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0} }{ C_{l\beta}-\dfrac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta} -\left(C_{l\hat{p}}-\dfrac{C_{l\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\phi } \\\\
&=\frac{ \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{p}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha -\left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{r}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta} }
\end{align}

となる。

横方向の力のつり合いからバンク角 \(\phi\) を求める

横力条件は、小バンク角近似において、

\begin{align}
q_\infty SC_Y=m(\Omega_0V_0-g\phi)
\end{align}

である。

これを \(\phi\) について整理すると

\begin{align}
\phi=\frac{\Omega_0 V_0}{g} - \frac{q_\infty S}{m g} C_Y
\end{align}

ここで、横力係数は、

\begin{align} C_Y =C_{Y\beta}\beta +C_{Y\hat{p}}\hat{p} +C_{Y\hat{r}}\hat{r} +C_{Y\delta_r}\delta_r \end{align}

である。ここに、ヨーイング方向のモーメントの釣り合い式から得た

\begin{align} \delta_r =-\frac{C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}}{C_{n\delta_r}} \end{align}

を代入すると、

\begin{align} C_Y &=C_{Y\beta}\beta +C_{Y\hat{p}}\hat{p} +C_{Y\hat{r}}\hat{r} -\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}} \left(C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}\right) \\ &=\left(C_{Y\beta}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta}\right)\beta +\left(C_{Y\hat{p}}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\hat{p} +\left(C_{Y\hat{r}}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\hat{r} \end{align}

となる。

ここに小バンク角近似の

\begin{align} \hat{p}\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha, \qquad \hat{r}\simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \end{align}

を代入すると、

\begin{align} C_Y
&=\left(C_{Y\beta}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\beta}\right)\beta -\left(C_{Y\hat{p}}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{p}}\right)\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha +\left(C_{Y\hat{r}}-\frac{C_{Y\delta_r}}{C_{n\delta_r}}C_{n\hat{r}}\right)\frac{\Omega_0b}{2V_0} \\\\
&=\frac{
\left(
C_{n\delta_r}C_{Y\beta}-C_{Y\delta_r}C_{n\beta}
\right)\beta
-\left(
C_{n\delta_r}C_{Y\hat{p}}-C_{Y\delta_r}C_{n\hat{p}}
\right)\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha
+\left(
C_{n\delta_r}C_{Y\hat{r}}-C_{Y\delta_r}C_{n\hat{r}}
\right)\frac{\Omega_0b}{2V_0}}
{C_{n\delta_r}}
\end{align}

である。

これを、最初の \(\phi\) の式

\begin{align}
\phi=\frac{\Omega_0 V_0}{g} - \frac{q_\infty S}{m g} C_Y
\end{align}

に代入し、さらに \(\alpha\) と \(\beta\) を代入すると、\(\phi\) の式が求められる（さすがにとんでもない式になるので省略する）。

残りのパラメータを求める

\(\phi\) が代数的に求まった後、

\begin{align} \phi\to\alpha\to\beta\to\theta\to\delta_e,\delta_r,T \end{align}

の順で、残り全てのパラメータを回収できる。

例えば、ヨーイング方向のモーメントのつり合い式から求めた、ラダー舵角

\begin{align} \delta_r =-\frac{ C_{n\beta}\beta +C_{n\hat{p}}\hat{p} +C_{n\hat{r}}\hat{r} }{C_{n\delta_r}} \end{align}

に、小バンク角近似で得た横滑り角

\begin{align} \beta=\frac{ \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{p}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha -\left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{r}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta} } \end{align}

および、無次元角速度

\begin{align} \hat{p} &\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha, \\ \hat{r} &\simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \end{align}

を代入して整理すると、

\begin{align}
\delta_r
&\simeq -\frac{1}{C_{n\delta_r}} \Biggl[ C_{n\beta} \frac{ \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{p}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{p}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha -\left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{r}}\right)\dfrac{\Omega_0b}{2V_0} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta} }
- C_{n\hat{p}}\frac{\Omega_0b}{2V_0}\alpha + C_{n\hat{r}}\frac{\Omega_0b}{2V_0} \Biggr]
\\\\
&\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{1}{ C_{n\delta_r} \left(C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta}\right) }\times \Biggl[ C_{n\beta} \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{p}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{p}}\right)\alpha -C_{n\beta} \left(C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}-C_{l\delta_r}C_{n\hat{r}}\right) \qquad -C_{n\hat{p}} \left(C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta}\right)\alpha + C_{n\hat{r}} \left(C_{n\delta_r}C_{l\beta}-C_{l\delta_r}C_{n\beta}\right) \Biggr]
\\\\
&\simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{ \left( C_{l\beta}C_{n\hat{p}} -C_{n\beta}C_{l\hat{p}} \right)\alpha + C_{n\beta}C_{l\hat{r}} -C_{l\beta}C_{n\hat{r}} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta} -C_{l\delta_r}C_{n\beta} }
\end{align}

となる。

ラダーのみ旋回中の横滑り角

ここからは、得られたパラメータについて考察し、ラダーのみ旋回についての理解を深めていく。

小バンク角近似で得た横滑り角は、

である。

ラダーによる直接ローリングモーメント \(C_{l\delta_r}\) および迎角に依存する項 \(C_{l\hat{p}}\alpha\) 、 \(C_{n\hat{p}}\alpha\) が小さい場合、上式は

\begin{align}
\beta\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0}\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}}
\end{align}

となる。

右旋回では \(\Omega_0>0\) なので、

\begin{align} \frac{\Omega_0b}{2V_0}>0 \end{align}

であり、通常の航空機では、

\begin{align} C_{l\beta}<0,\qquad C_{l\hat{r}}>0 \end{align}

なので、右旋回、右バンクのラダーのみ定常旋回では、通常、

\begin{align}
\beta
\simeq-\frac{\Omega_0b}{2V_0}\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}}>0
\end{align}

となる。

右旋回では右側が旋回内側であるため、\(\beta>0\) は右側、すなわち旋回内側から相対風を受ける状態であり、機首は旋回外側を向く slip turn である。

https://www.faa.gov/sites/faa.gov/files/Glider-Flying-Handbook.pdf（これは左バンク左旋回）

ラダーのみ旋回では基本的に slip turn になるので、エルロンを用いた協調旋回よりも同じバンク角における旋回率は悪くなる。

また、\(\beta\) の近似式

\begin{align} \beta\simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0}\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}} \end{align}

を見てみると、ラダーのみ旋回は、

\(C_{l\hat{r}}\) によって機体をバンクさせようとする効果
\(C_{l\beta}\) によってバンクを復元させようとする効果

のバランスによって成り立っていることが分かる。

よって、ラダーのみ定常旋回中の横滑り角は、\(C_{l\hat{r}}\) が大きいほど \(\beta\) が大きく、\(|C_{l\beta}|\) が大きいほど \(\beta\) は小さくなる。

ここまでのポイント

ラダーのみ旋回は、機首が旋回の外側を向く slip turn になる
ラダーのみ旋回中の横滑り角の大きさは、\(C_{lr}\) が大きいほど大きく、\(|C_{l\beta}|\) が大きいほど小さい

ラダーのみ旋回中のラダー舵角

小バンク角近似で得たラダー舵角

\begin{align} \delta_r \simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{ \left( C_{l\beta}C_{n\hat{p}} -C_{n\beta}C_{l\hat{p}} \right)\alpha + C_{n\beta}C_{l\hat{r}} -C_{l\beta}C_{n\hat{r}} }{ C_{n\delta_r}C_{l\beta} -C_{l\delta_r}C_{n\beta} } \end{align}

に、さらに近似を適用していく。

まず、ラダーによる直接ローリングモーメントを副次的として、

\begin{align} C_{l\delta_r}\simeq0 \end{align}

とすると、

である。

さらに、迎角に依存する項が小さいとして、

\begin{align} \left|C_{l\hat{p}}\alpha\right| &\ll \left|C_{l\hat{r}}\right|, \\ \left|C_{n\hat{p}}\alpha\right| &\ll \left|C_{n\hat{r}}\right| \end{align}

とすれば、

\begin{align} \delta_r \simeq \frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{ C_{n\beta}C_{l\hat{r}} -C_{l\beta}C_{n\hat{r}} }{ C_{l\beta}C_{n\delta_r} } \end{align}

となる。

スパイラル安定性との関係

分子のマイナスをくくりだすと、ラダー舵角は

\begin{align} \delta_r \simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{ C_{l\beta}C_{n\hat{r}} -C_{n\beta}C_{l\hat{r}} }{ C_{l\beta}C_{n\delta_r} } \end{align}

である。

ここで、分子の

\begin{align}
C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}
\end{align}

は、微小擾乱理論におけるスパイラルモードの安定判別式である。

一方、同じ近似条件で求めた横滑り角は、

\begin{align} \beta \simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}} \end{align}

である。

両式から \(\Omega_0b/(2V_0)\) を消去すると、ラダー舵角と横滑り角の関係は、

\begin{align} \frac{\delta_r}{\beta} \simeq \frac{ C_{l\beta}C_{n\hat{r}} -C_{n\beta}C_{l\hat{r}} }{ C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}} } \end{align}

となる。

通常の航空機では、

\begin{align} C_{n\delta_r}<0,\qquad C_{l\hat{r}}>0 \end{align}

であるため、

\begin{align} C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}<0 \end{align}

である。したがって、

\begin{align} \operatorname{sgn}\left(\frac{\delta_r}{\beta}\right) =-\operatorname{sgn}\left( C_{l\beta}C_{n\hat{r}} -C_{n\beta}C_{l\hat{r}} \right) \end{align}

となる。

つまり、

\begin{align} \text{スパイラル安定} &\Rightarrow \frac{\delta_r}{\beta}<0, \\ \text{スパイラル中立} &\Rightarrow \frac{\delta_r}{\beta}\simeq0, \\ \text{スパイラル不安定} &\Rightarrow \frac{\delta_r}{\beta}>0 \end{align}

である（\(\delta_r\)は左ヨーイングが正）。

前節で示したように、右旋回のラダーのみ定常旋回では通常 \(\beta>0\) となる。

したがって、右バンク、右旋回においては、

\begin{align}
\text{スパイラル安定} &\Rightarrow \delta_r<0, &\text{(右ラダー)}\\
\text{スパイラル中立} &\Rightarrow \delta_r\simeq0, &\\
\text{スパイラル不安定} &\Rightarrow \delta_r>0, &\text{(左ラダー)}
\end{align}

である。

このように、ラダーのみ旋回におけるラダー舵角の符号はスパイラルモードの安定性に対応し、ラダー舵角の大きさはスパイラルモードの安定性判別式の絶対値に対応している。

ここまでのポイント