ラダーのみを用いて旋回する航空機の旋回性能について説明する。
はじめに
前記事では、定常・高度維持・ラダーのみ旋回について、速度、旋回率、エルロン舵角を固定したときに、迎角、横滑り角、バンク角、ピッチ角、エレベータ舵角、ラダー舵角、推力がどのように決まるかを整理した。
ラダーのみ旋回では、エルロンを使わないため、ラダー舵角だけでヨー方向とロール方向の両方を釣り合わせる必要がある。
ラダーを大きく切れば横滑り角やヨーレートは大きくなるが、その結果として得られるバンク角は、機体のスパイラル安定性、上反角効果、ヨーレートロール、方向安定、ラダー効きに強く支配される。
したがって、ラダーのみ旋回の旋回性能は、単に「ラダーが効くか」だけでは評価できない。
ここでは、ラダー舵角の上限内で定常的につり合えるバンク角、すなわちつり合い可能な最大バンク角として整理する。
定常・高度維持旋回では、主要なパラメータは次の 10 個である。
\begin{align} V,\ \alpha,\ \beta,\ \phi,\ \theta,\ \Omega,\ \delta_e,\ \delta_a,\ \delta_r,\ T \end{align}
これに対して、力のつり合い 3 式、モーメントのつり合い 3 式、高度維持条件 1 式の合計 7 式がある。
したがって、旋回形態を決めるには 3 個の量を固定する必要がある。
本記事では、ラダーのみ旋回における旋回性能を見るため、固定条件を次のように置く。
\begin{align} V &= V_0, \\ \delta_a &= 0, \\ \delta_r &= \delta_{r0} \end{align}
すなわち、ある速度 \(V_0\) で、エルロンを使わず、指定したラダー舵角 \(\delta_{r0}\) に対して定常的につり合う旋回状態を求める。
最終的には、\(\delta_{r0}\) を最大ラダー舵角 \(\delta_{r,\max}\) まで動かしたときに得られる最大バンク角を、ラダーのみ旋回の旋回性能指標として扱う。
それではいってみよう。
パラメータの定式化
固定条件は、
\begin{align} V &= V_0, \\ \delta_a &= 0, \\ \delta_r &= \delta_{r0} \end{align}
である。
このとき未知量は、
\begin{align} \alpha,\ \beta,\ \phi,\ \theta,\ \Omega,\ \delta_e,\ T \end{align}
の 7 個である。
まず、速度成分と無次元角速度は、
\begin{align} u &= V_0\cos\alpha\cos\beta, \\ v &= V_0\sin\beta, \\ w &= V_0\sin\alpha\cos\beta, \\ \hat{p} &= -\frac{\Omega b}{2V_0}\sin\theta, \\ \hat{q} &= \frac{\Omega\bar{c}}{2V_0}\sin\phi\cos\theta, \\ \hat{r} &= \frac{\Omega b}{2V_0}\cos\phi\cos\theta \end{align}
である。
力のつり合いに必要な外力は、
\begin{align} X_{\mathrm{req}} &=m\left[\Omega V_0\cos\theta(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta)+g\sin\theta\right], \\ Y_{\mathrm{req}} &=m\left[\Omega V_0\cos\beta(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi\cos\theta\right], \\ Z_{\mathrm{req}} &=m\left[-\Omega V_0\sin\theta\sin\beta-\Omega V_0\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta-g\cos\phi\cos\theta\right] \end{align}
である。
縦方向の揚力係数と抗力係数を、
\begin{align} C_L &= C_{L0}+C_{L\alpha}\alpha+C_{L\hat{q}}\hat{q}+C_{L\delta_e}\delta_e, \\ C_D &= C_{D0}+\frac{C_L^2}{\pi e AR} \end{align}
とする。
すると、7 個の未知量を決める条件は次の 7 式である。
高度維持条件は、
\begin{align} -\cos\alpha\cos\beta\sin\theta+\sin\beta\sin\phi\cos\theta+\sin\alpha\cos\beta\cos\phi\cos\theta=0 \end{align}
である。
力のつり合いは、
\begin{align} T-q_\infty S(C_D\cos\alpha-C_L\sin\alpha) &=m\left[\Omega V_0\cos\theta(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta)+g\sin\theta\right], \\ q_\infty S(C_{Y\beta}\beta+C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat{r}}\hat{r}+C_{Y\delta_r}\delta_{r0}) &=m\left[\Omega V_0\cos\beta(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi\cos\theta\right], \\ q_\infty S(-C_D\sin\alpha-C_L\cos\alpha) &=m\left[-\Omega V_0\sin\theta\sin\beta-\Omega V_0\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta-g\cos\phi\cos\theta\right] \end{align}
である。
モーメントのつり合いは、イナーシャカップリングを副次的として、
\begin{align} 0 &= C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}+C_{m\delta_e}\delta_e, \\ 0 &= C_{l\beta}\beta+C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat{r}}\hat{r}+C_{l\delta_r}\delta_{r0}, \\ 0 &= C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}+C_{n\delta_r}\delta_{r0} \end{align}
である。
以上の 7 式は、一般には非線形連立方程式である。
指定した \(\delta_{r0}\) に対する定常旋回を厳密に求めるには、これらの式を数値的に解く必要がある。
小迎角・小横滑り角・小ピッチ角・小バンク角近似を入れる場合
ここからは、指定ラダー舵角に対して、定常的につり合うバンク角、旋回率、横滑り角を近似的に求める。
次の近似を置く。
- 小迎角・小横滑り角・小ピッチ角・小バンク角近似を用いる。
- 小バンクとして \(\sin\phi\simeq\phi\)、\(\cos\phi\simeq1\) とする。
- 一次の主要項を見るため、\(\theta\simeq\alpha\) とする。
- ラダーによる直接ローリングモーメント \(C_{l\delta_r}\) を副次的として扱う。
- \(C_{l\hat{p}}\alpha\)、\(C_{n\hat{p}}\alpha\) を、\(C_{l\hat{r}}\)、\(C_{n\hat{r}}\) に対して副次的として扱う。
このとき、無次元角速度は、
\begin{align} \hat{p} &\simeq -\frac{\Omega b}{2V_0}\alpha, \\ \hat{r} &\simeq \frac{\Omega b}{2V_0} \end{align}
である。
上の副次項を落とすと、ロール・ヨーのモーメントつり合いは、
\begin{align} 0 &\simeq C_{l\beta}\beta+C_{l\hat{r}}\hat{r}, \\ 0 &\simeq C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{r}}\hat{r}+C_{n\delta_r}\delta_{r0} \end{align}
となる。
まず、ロールのつり合いから、
\begin{align} \beta\simeq -\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}}\hat{r} \end{align}
である。
これをヨーのつり合いへ代入すると、
\begin{align} 0 &\simeq C_{n\beta}\left(-\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}}\hat{r}\right)+C_{n\hat{r}}\hat{r}+C_{n\delta_r}\delta_{r0} \\ &=\left(C_{n\hat{r}}-\frac{C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}}\right)\hat{r}+C_{n\delta_r}\delta_{r0} \end{align}
である。
両辺に \(C_{l\beta}\) を掛けて整理すると、
\begin{align} \left(C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}\right)\hat{r}+C_{l\beta}C_{n\delta_r}\delta_{r0}\simeq0 \end{align}
となる。
したがって、
\begin{align} \hat{r}\simeq -\frac{C_{l\beta}C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\delta_{r0} \end{align}
である。
また、横滑り角は、
\begin{align} \beta &\simeq -\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}}\hat{r} \\ &\simeq \frac{C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\delta_{r0} \end{align}
となる。
ここで、
\begin{align} \hat{r}\simeq\frac{\Omega b}{2V_0} \end{align}
なので、旋回率は、
\begin{align} \Omega\simeq -\frac{2V_0}{b}\frac{C_{l\beta}C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\delta_{r0} \end{align}
である。
次に、横方向の力のつり合いを用いてバンク角を求める。
小角近似では、横力条件は、
\begin{align} q_\infty SC_Y\simeq m(\Omega V_0-g\phi) \end{align}
である。
したがって、
\begin{align} \phi\simeq\frac{\Omega V_0}{g}-\frac{q_\infty S}{mg}C_Y \end{align}
となる。
横力係数は、主要項だけを残すと、
\begin{align} C_Y\simeq C_{Y\beta}\beta \end{align}
である。
ここに、上で得た \(\Omega\) と \(\beta\) を代入すると、
\begin{align} \phi &\simeq \frac{V_0}{g}\left(-\frac{2V_0}{b}\frac{C_{l\beta}C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\delta_{r0}\right) -\frac{q_\infty S}{mg}C_{Y\beta}\left(\frac{C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\delta_{r0}\right) \\\\ &= -\frac{C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}} \left(\frac{2V_0^2}{gb}C_{l\beta}+\frac{q_\infty S}{mg}C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}\right)\delta_{r0} \\\\ &= -\frac{q_\infty S}{mg}\frac{C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}} \left(\frac{4m}{\rho S b}C_{l\beta}+C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}\right)\delta_{r0} \end{align}
である。
旋回性能の近似指標
前節の結果より、指定ラダー舵角に対するバンク角は、
\begin{align} \phi\simeq\frac{q_\infty S}{mg}K_\phi\delta_{r0} \end{align}
と書ける。
ラダー舵角に対する定常バンク角のゲインは、
\begin{align}
K_\phi\simeq -\frac{C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}} \left(\frac{4m}{\rho S b}C_{l\beta}+C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}\right)
\end{align}
である。
ここで、分母の
\begin{align}
C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}
\end{align}
は、スパイラルモードの近似安定判別式である。
この式は、ラダーのみ旋回の定常的な旋回性能を、次の 3 つのまとまりで示している。
- \(C_{n\delta_r}\) は、ラダー舵角からヨーイングモーメントを作る項である。
- \(C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}\) は、ロール・ヨーのモーメントつり合いにおいて、横滑り角とヨーレートがどの程度強く拘束されるかを表す。
- 括弧内は、得られたヨーレートと横滑り角が、横力条件を通じてバンク角へ変換される部分である。
より詳しく見ると、括弧内の第 1 項、
\begin{align}
\frac{2V_0^2}{gb}C_{l\beta}
\end{align}
は、ロール・ヨーのモーメントつり合いで決まったヨーレートが、旋回率として横方向の慣性項へ入る経路であり、第 2 項、
\begin{align}
\frac{q_\infty S}{mg}C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}
\end{align}
は、ヨーレートロール \(C_{l\hat{r}}\) によって決まった横滑り角が、横力 \(C_{Y\beta}\beta\) を通じてバンク角のつり合いを変える経路である。
この形から、ラダーのみ旋回の旋回性能は、垂直尾翼を大きくして \(C_{n\delta_r}\) を強くするだけでは決まらないことが分かる。
同じラダー効きでも、\(C_{l\beta}\)、\(C_{l\hat{r}}\)、\(C_{n\beta}\)、\(C_{n\hat{r}}\) の組合せによって、定常的につり合えるバンク角は大きく変わる。
つり合い可能な最大バンク角
左にヨーイングする方向のラダー舵角を正として、ラダー舵角の上限を、
\begin{align} 0<|\delta_r|<\delta_{r,\max} \end{align}
とすると、絶対値としてのつり合い可能な最大バンク角は、
\begin{align}
|\phi|_{\max}\simeq\frac{q_\infty S}{mg}|K_\phi|\delta_{r,\max}
\end{align}
である。
完全に書き下すと、
\begin{align}
|\phi|_{\max}\simeq\frac{q_\infty S}{mg} \left|-\frac{C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}} \left(\frac{4m}{\rho S b}C_{l\beta}+C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}\right)\right|\delta_{r,\max}
\end{align}
である。
このとき、通常の航空機として、
\begin{align} C_{l\beta}<0,\quad C_{l\hat{r}}>0,\quad C_{Y\beta}<0 \end{align}
を仮定すると、括弧内は、
\begin{align} \frac{4m}{\rho S b}C_{l\beta}+C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}<0 \end{align}
となり、\(K_\phi\) の符号は \(C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}\) の符号と反対になることがわかる。
通常の航空機では \(C_{n\delta_r}<0\) なので、スパイラル安定の機体（\(C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}>0\)）では、
\begin{align} K_\phi<0 \quad\rightarrow\quad \delta_r=-\delta_{r,\max} \end{align}
スパイラル不安定の機体（\(C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}<0\)）では、
\begin{align} K_\phi>0 \quad\rightarrow\quad \delta_r=+\delta_{r,\max} \end{align}
となる。
このときの旋回率と横滑り角は、
\begin{align} |\Omega_{\phi\max}| &\simeq \frac{2V_0}{b} \left|\frac{C_{l\beta}C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\right|\delta_{r,\max}, \\ |\beta_{\phi\max}| &\simeq \left|\frac{C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\right|\delta_{r,\max} \end{align}
である。
\(K_{\phi}\)の特異点
スパイラル中立（\(C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}=0\)）では、簡約式
\begin{align}
K_\phi\simeq -\frac{C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}} \left(\frac{4m}{\rho S b}C_{l\beta}+C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}\right)
\end{align}
は分母がゼロになり、適用できない。
この領域では、横・方向の微小近似で落とした項や、縦方向の釣り合い条件が支配的になる。
したがって、スパイラル安定が中立付近の機体では、つり合い可能な最大バンク角を簡約式で評価せず、元のトリム方程式へ戻って、ラダー舵角、横滑り角、迎角、エレベータ舵角、荷重倍数、推力または滑空条件を含めて成立性を確認する必要がある。
おわりに
ラダーのみを用いて旋回する航空機の旋回性能について説明した。
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