ラダーのみを用いて旋回する航空機の旋回性能について説明する。
はじめに
前記事では、定常・高度維持・ラダーのみ旋回について、速度、旋回率、エルロン舵角を固定したときに、迎角、横滑り角、バンク角、ピッチ角、エレベータ舵角、ラダー舵角、推力がどのように決まるかを整理した。
ラダーのみ旋回では、エルロンを使わないため、ラダー舵角だけでヨー方向とロール方向の両方を釣り合わせる必要がある。
ラダーを大きく切れば横滑り角やヨーレートは大きくなるが、その結果として得られるバンク角は、機体のスパイラル安定性、上反角効果、ヨーレートロール、方向安定、ラダー効きに強く支配される。
したがって、ラダーのみ旋回の旋回性能は、単に「ラダーが効くか」だけでは評価できない。
ここでは、ラダーのみ旋回における旋回性能を、ラダー舵角の上限内で定常的につり合えるバンク角、すなわちつり合い可能な最大バンク角として整理する。
定常・高度維持旋回では、主要なパラメータは次の 10 個である。
\begin{align} V,\ \alpha,\ \beta,\ \phi,\ \theta,\ \Omega,\ \delta_e,\ \delta_a,\ \delta_r,\ T \end{align}
これに対して、力のつり合い 3 式、モーメントのつり合い 3 式、高度維持条件 1 式の合計 7 式がある。
したがって、旋回形態を決めるには 3 個の量を固定する必要がある。
この記事の最終目的は、最大ラダー舵角の範囲内で定常的につり合える最大バンク角を求め、ラダーのみで旋回する航空機の旋回性能を評価することである。
そのため、最初に非線形定常旋回トリムの固定条件、未知量、つり合い条件を整理する。
次に、横・方向の線形近似から、ラダー舵角に対する旋回率、横滑り角、バンク角を導出する。
そこから簡易指標を定義し、最大ラダー舵角で得られる旋回性能を整理する。
最後に、簡易指標と非線形定常旋回トリムを比較し、簡易指標の適用範囲を確認する。
それではいってみよう。
パラメータの定式化
固定条件は、
\begin{align} V &= V_0, \\ \delta_a &= 0, \\ \delta_r &= \delta_{r0} \end{align}
である。
このとき未知量は、
\begin{align} \alpha,\ \beta,\ \phi,\ \theta,\ \Omega,\ \delta_e,\ T \end{align}
の 7 個である。
まず、速度成分と無次元角速度は、
\begin{align} u &= V_0\cos\alpha\cos\beta, \\ v &= V_0\sin\beta, \\ w &= V_0\sin\alpha\cos\beta, \\ \hat{p} &= -\frac{\Omega b}{2V_0}\sin\theta, \\ \hat{q} &= \frac{\Omega\bar{c}}{2V_0}\sin\phi\cos\theta, \\ \hat{r} &= \frac{\Omega b}{2V_0}\cos\phi\cos\theta \end{align}
である。
力のつり合いに必要な外力は、
\begin{align} X_{\mathrm{req}} &=m\left[\Omega V_0\cos\theta(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta)+g\sin\theta\right], \\ Y_{\mathrm{req}} &=m\left[\Omega V_0\cos\beta(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi\cos\theta\right], \\ Z_{\mathrm{req}} &=m\left[-\Omega V_0\sin\theta\sin\beta-\Omega V_0\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta-g\cos\phi\cos\theta\right] \end{align}
である。
縦方向の揚力係数と抗力係数を、
\begin{align} C_L &= C_{L0}+C_{L\alpha}\alpha+C_{L\hat{q}}\hat{q}+C_{L\delta_e}\delta_e, \\ C_D &= C_{D0}+\frac{C_L^2}{\pi e AR} \end{align}
とする。
すると、7 個の未知量を決める条件は次の 7 式である。
高度維持条件は、
\begin{align} -\cos\alpha\cos\beta\sin\theta+\sin\beta\sin\phi\cos\theta+\sin\alpha\cos\beta\cos\phi\cos\theta=0 \end{align}
である。
力のつり合いは、
\begin{align} T-q_\infty S(C_D\cos\alpha-C_L\sin\alpha) &=m\left[\Omega V_0\cos\theta(\sin\phi\sin\alpha\cos\beta-\cos\phi\sin\beta)+g\sin\theta\right], \\ q_\infty S(C_{Y\beta}\beta+C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat{r}}\hat{r}+C_{Y\delta_r}\delta_{r0}) &=m\left[\Omega V_0\cos\beta(\cos\phi\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)-g\sin\phi\cos\theta\right], \\ q_\infty S(-C_D\sin\alpha-C_L\cos\alpha) &=m\left[-\Omega V_0\sin\theta\sin\beta-\Omega V_0\sin\phi\cos\theta\cos\alpha\cos\beta-g\cos\phi\cos\theta\right] \end{align}
である。
モーメントのつり合いは、イナーシャカップリングを副次的として、
\begin{align} 0 &= C_{m0}+C_{m\alpha}\alpha+C_{m\hat{q}}\hat{q}+C_{m\delta_e}\delta_e, \\ 0 &= C_{l\beta}\beta+C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat{r}}\hat{r}+C_{l\delta_r}\delta_{r0}, \\ 0 &= C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat{r}}\hat{r}+C_{n\delta_r}\delta_{r0} \end{align}
である。
以上の 7 式は、一般には非線形連立方程式である。
指定した \(\delta_{r0}\) に対する定常旋回を厳密に求めるには、これらの式を数値的に解く必要がある。
旋回性能の近似指標
ここからは、指定ラダー舵角に対して、定常的につり合うバンク角、旋回率、横滑り角を近似的に求める。
ここでは、以下の記事
と同じ、次の近似を置く。
- 小迎角・小横滑り角・小ピッチ角・小バンク角近似を用いる。
- ラダーによる直接ローリングモーメント \(C_{l\delta_r}\) を副次的として扱う。
- \(C_{l\hat{p}}\alpha\)、\(C_{n\hat{p}}\alpha\) を、\(C_{l\hat{r}}\)、\(C_{n\hat{r}}\) に対して副次的として扱う。
このとき、
ラダー舵角は、
\begin{align}
\delta_r \simeq -\frac{\Omega_0b}{2V_0} \frac{ C_{l\beta}C_{n\hat{r}} -C_{n\beta}C_{l\hat{r}} }{ C_{l\beta}C_{n\delta_r} }
\end{align}
無次元ヨーイング角速度は、
\begin{align}
\hat{r} &\simeq \frac{\Omega b}{2V_0}
\end{align}
である。
ラダー舵角の式を用いて、無次元ヨーイング角速度の式から \(\frac{\Omega b}{2V_0} \) を消去すると
\begin{align}
\hat{r}
&\simeq
-\frac{ C_{l\beta}C_{n\delta_r} }{ C_{l\beta}C_{n\hat{r}} -C_{n\beta}C_{l\hat{r}} }\delta_r0
\end{align}
となる
また、横滑り角は、
\begin{align}
\beta
&\simeq -\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}}\hat{r} \\
&\simeq \frac{C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\delta_{r0}
\end{align}
である。
ここで、\(\hat{r}\simeq\frac{\Omega b}{2V_0} \) より、旋回率 \(\Omega\)は、
\begin{align}
\Omega
&\simeq -\frac{2V_0}{b}\hat{r} \\\\
&\simeq -\frac{2V_0}{b}\frac{C_{l\beta}C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\delta_{r0} \end{align}
である。
バンク角は、
\begin{align}
\phi\simeq\frac{\Omega V_0}{g}-\frac{q_\infty S}{mg}C_Y
\end{align}
であり、横力係数
\begin{align}
C_Y =C_{Y\beta}\beta +C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat{r}}\hat{r} +C_{Y\delta_r}\delta_r
\end{align}
について、\(C_{Y\hat{p}}\)、\(C_{Y\hat{r}}\)、\(C_{Y\delta_r}\) が副次的であるとして主要項だけを残すと、
\begin{align}
\phi\simeq\frac{\Omega V_0}{g}-\frac{q_\infty S}{mg}C_{Y\beta}\beta
\end{align}
である。
ここに、上で得た \(\Omega\) と \(\beta\) を代入すると、
\begin{align} \phi &\simeq \frac{V_0}{g}\left(-\frac{2V_0}{b}\frac{C_{l\beta}C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\delta_{r0}\right) -\frac{q_\infty S}{mg}C_{Y\beta}\left(\frac{C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\delta_{r0}\right) \\\\ &= -\frac{C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}} \left(\frac{2V_0^2}{gb}C_{l\beta}+\frac{q_\infty S}{mg}C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}\right)\delta_{r0} \\\\ &= -\frac{q_\infty S}{mg}\frac{C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}} \left(\frac{4m}{\rho S b}C_{l\beta}+C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}\right)\delta_{r0} \end{align}
である。
したがって、指定ラダー舵角に対するバンク角は、
\begin{align} \phi\simeq\frac{q_\infty S}{mg}K_\phi\delta_{r0} \end{align}
と書ける。
ラダー舵角に対する定常バンク角のゲインは、
\begin{align}
K_\phi\simeq -\frac{C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}} \left(\frac{4m}{\rho S b}C_{l\beta}+C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}\right)
\end{align}
である。
解釈のため、
\begin{align}
K_\phi
\simeq
-\frac{1}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}
\left\{
\frac{4m}{\rho S b}
-C_{Y\beta}
\left(
\frac{C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}}
\right)
\right\}
C_{l\beta}C_{n\delta_r}
\end{align}
と式変形すると、この式は、次の 3 つの因子として解釈できる。
\(-\frac{1}{ C_{l\beta}C_{n\hat r} -C_{n\beta}C_{l\hat r} }\)
- スパイラルモードの安定性判別式の逆数。
- 分母の絶対値が小さくなると、同じラダー入力に対するバンク角の感度が大きくなる。
\(\left\{\frac{4m}{\rho Sb} -C_{Y\beta} \left( -\frac{C_{l\hat r}}{C_{l\beta}} \right)\right\} \)
- 旋回に必要な遠心力の寄与と、横滑りによる空気力の寄与をまとめた係数。
- 質量、空気密度、主翼面積、翼幅、横力傾斜の影響を含む。
\(C_{l\beta}C_{n\delta_r} \)
- ラダー操舵がヨーイングモーメントを生み、横滑りと上反角効果を介してローリングモーメントへつながる経路。
この形から、ラダーのみ旋回の旋回性能は、垂直尾翼を大きくして \(C_{n\delta_r}\) を強くするだけでは決まらないことが分かる。
同じラダー効きでも、\(C_{l\beta}\)、\(C_{l\hat{r}}\)、\(C_{n\beta}\)、\(C_{n\hat{r}}\) の組合せによって、定常的につり合えるバンク角は大きく変わる。
\(K_{\phi}\)の特異点
スパイラル中立（\(C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}=0\)）では、簡約式
\begin{align}
K_\phi\simeq -\frac{C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}} \left(\frac{4m}{\rho S b}C_{l\beta}+C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}\right)
\end{align}
は分母がゼロになり、適用できない。
この領域では、横・方向の微小近似で落とした項や、縦方向の釣り合い条件が支配的になる。
したがって、スパイラル安定が中立付近の機体では、つり合い可能な最大バンク角を簡約式で評価せず、元のトリム方程式へ戻って、ラダー舵角、横滑り角、迎角、エレベータ舵角、荷重倍数、推力または滑空条件を含めて成立性を確認する必要がある。
つり合い可能な最大バンク角
左にヨーイングする方向のラダー舵角を正として、ラダー舵角の上限を、
\begin{align} 0<|\delta_r|<\delta_{r,\max} \end{align}
とすると、絶対値としてのつり合い可能な最大バンク角は、
\begin{align}
|\phi|_{\max}\simeq\frac{q_\infty S}{mg}|K_\phi|\delta_{r,\max}
\end{align}
である。
完全に書き下すと、
\begin{align}
|\phi|_{\max}\simeq\frac{q_\infty S}{mg} \left|-\frac{C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}} \left(\frac{4m}{\rho S b}C_{l\beta}+C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}\right)\right|\delta_{r,\max}
\end{align}
である。
このとき、通常の航空機として、
\begin{align} C_{l\beta}<0,\quad C_{l\hat{r}}>0,\quad C_{Y\beta}<0 \end{align}
を仮定すると、括弧内は、
\begin{align} \frac{4m}{\rho S b}C_{l\beta}+C_{Y\beta}C_{l\hat{r}}<0 \end{align}
となり、\(K_\phi\) の符号は \(C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}\) の符号と反対になることがわかる。
通常の航空機では \(C_{n\delta_r}<0\) なので、
スパイラル安定の機体では、
\begin{align}
& C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}>0 \\\\
\rightarrow \quad
&K_\phi<0 \\\\
\rightarrow\quad
&\delta_r=-\delta_{r,\max} \qquad \text{(右ラダー)}
\end{align}
スパイラル不安定の機体では、
\begin{align}
&C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}<0 \\\\
\rightarrow \quad
&K_\phi>0 \\\\
\rightarrow\quad
&\delta_r=+\delta_{r,\max} \qquad \text{(左ラダー)}
\end{align}
となる。
このときの旋回率と横滑り角は、
\begin{align} |\Omega_{\phi\max}| &\simeq \frac{2V_0}{b} \left|\frac{C_{l\beta}C_{n\delta_r}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\right|\delta_{r,\max}, \\ |\beta_{\phi\max}| &\simeq \left|\frac{C_{n\delta_r}C_{l\hat{r}}}{C_{l\beta}C_{n\hat{r}}-C_{n\beta}C_{l\hat{r}}}\right|\delta_{r,\max} \end{align}
である。
6 自由度方程式に基づく定常旋回トリムとの比較
最後に、簡易式から得られる最大バンク角が、元の非線形定常旋回トリムとどの程度対応するかを確認する。
最大ラダー舵角における定常旋回トリムでは、速度とエルロン舵角を固定し、正負の最大ラダー舵角について、それぞれ定常旋回のトリム条件を解く。
\begin{align} V &= V_0, \\ \delta_a &= 0, \\ \delta_r &= -\delta_{r,\max} \quad\text{または}\quad \delta_r = +\delta_{r,\max} \end{align}
滑空機として計算する場合は、さらに、
\begin{align} T=0 \end{align}
とする。
正負の最大ラダー舵角で成立したトリム解のうち、バンク角の絶対値が大きい方を、ラダーのみで旋回する航空機の旋回性能の指標とする。
\begin{align} |\phi|_{\max,\mathrm{trim}} =\max\left( \left|\phi\left(-\delta_{r,\max}\right)\right|, \left|\phi\left(+\delta_{r,\max}\right)\right| \right) \end{align}
片側のトリムだけが成立した場合は、成立した側の \(|\phi|\) を採用する。
↓定常旋回トリムの数値計算の詳細はこちら
↓対象の機体はこちら
今回の比較では、以下の記事
において、垂直尾翼容積比 \(V_v\) と等価上反角 \(\Gamma_{\mathrm{eff}}\) を変化させ、次の条件
\begin{align} V &= 10\ \mathrm{m/s}, \\ \delta_a &= 0, \\ |\delta_r| &= 10\ \mathrm{deg}, \\ T &= 0 \end{align}
で無動力の定常降下旋回トリムを計算した結果を用いる。
全 231 ケースのうち、最大ラダー舵角における定常旋回トリムが成立したのは 182 ケースである。
得られた最大バンク角は、
\begin{align} 0.024\ \mathrm{deg} \le |\phi|_{\max,\mathrm{trim}} \le 7.495\ \mathrm{deg} \end{align}
の範囲にある。
最大値は、
\begin{align} V_v &= 0.006, \\ \Gamma_{\mathrm{eff}} &= 5.816\ \mathrm{deg}, \\ C_{l\beta}C_{n\hat r}-C_{n\beta}C_{l\hat r} &= 0.00189, \\ |\phi|_{\max,\mathrm{trim}} &= 7.495\ \mathrm{deg}, \\ |\Omega| &= 5.886\ \mathrm{deg/s} \end{align}
で得られた。
簡易式から得られる最大バンク角と、非線形定常旋回トリムから得られる最大バンク角の相関係数は、
\begin{align} r\left( |\phi|_{\max,\mathrm{simple}}, |\phi|_{\max,\mathrm{trim}} \right) \simeq 0.989 \end{align}
であり、トリムが成立した 182 ケースでよく対応している。
したがって、簡易式は、垂直尾翼容積比と上反角の組合せによる旋回性能を把握する設計指標として使える。
ただし、スパイラル中立付近では簡易式の分母が小さくなるため、最終的な成立性は、非線形トリム解、必要横滑り角、旋回率、舵角余裕、残差を合わせて確認する必要がある。
おわりに
ラダーのみを用いて旋回する航空機の旋回性能について説明した。
ラダーのみ旋回の性能は、ラダー効き \(C_{n\delta_r}\)、上反角効果 \(C_{l\beta}\)、ヨーレートロール \(C_{l\hat r}\)、方向安定 \(C_{n\beta}\)、ヨー減衰 \(C_{n\hat r}\) の連成などによって決まる。
今回の記事で導出した簡易指標
\begin{align} K_\phi \simeq -\frac{C_{n\delta_r}}{ C_{l\beta}C_{n\hat r} -C_{n\beta}C_{l\hat r} } \left( \frac{4m}{\rho Sb}C_{l\beta} +C_{Y\beta}C_{l\hat r} \right) \end{align}
は、垂直尾翼容積比と等価上反角による設計傾向の把握に有効である。
今回の 182 ケースでは、非線形定常旋回トリムから得られる最大バンク角 との相関係数は約 0.989 であった。
次の記事では、同じラダー入力に対する有限時間の横転性能について考え、定常的につり合えるバンク角に加えて、必要な時間内にバンク角を変化させられるかを確認する。
↓次の記事
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