航空機のラダーのみで旋回における横転性能

ラダーのみで旋回する航空機の横転性能について説明する

はじめに

この記事では、ラダーのみで旋回する機体について、バンク角ゼロに近い状態からラダー入力によってどのようにロール率とバンク角が立ち上がるかについて説明する。

前記事では、ラダーのみ定常旋回において、ある速度と旋回率を保ちながら、エルロン舵角をゼロにしたときに、迎角、横滑り角、バンク角、ピッチ角、エレベータ舵角、ラダー舵角、推力がどのように決まるかを整理した。

航空機のラダーのみ定常旋回

ラダーのみを用いた定常旋回について説明する。

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2026.07.11

この記事では横転性能として、ラダーを入力した直後から有限時間内にバンク角をどれだけ作れるかを考える。

ラダー入力後は、以下の 4 つの経路でロール角速度が生じる。

\begin{align} \delta_r &\to C_{l\delta_r}\delta_r \to \hat{p} \to p \\ \delta_r &\to C_{Y\delta_r}\delta_r \to \dot\beta \to \beta \to C_{l\beta}\beta \to \hat{p} \to p \\ \delta_r &\to C_{n\delta_r}\delta_r \to \hat r \to C_{l\hat r}\hat r \to \hat{p} \to p \\ \delta_r &\to C_{n\delta_r}\delta_r \to \hat r \to \dot\beta \to \beta \to C_{l\beta}\beta \to \hat{p} \to p \end{align}

したがって、ラダーのみ旋回の横転性能を評価するには、ラダー入力後の有限時間内に \(\beta\)、\(\hat{p}\)、\(\hat r\)、\(\phi\) がどのように発達するかを見る必要がある。

この記事では、次の順序で横転性能の簡易指標を導く。

1. 横滑り角、無次元ロール率、無次元ヨーイング角速度、バンク角を状態量とする線形横・方向モデルを作る。
2. ラダーステップ入力に対する状態方程式の解を、行列指数関数で表す。
3. 行列指数関数を Taylor 展開し、ラダー入力からロール率とバンク角が立ち上がる係数 \(K_1\)、\(K_2\)、\(K_3\) を取り出す。
4. 各係数のうち、ラダー入力からロール率を生成する項をまとめて、横転性能の指標として扱う。
5. 長スパン・大上反角航空機で副次的な項を省略し、主要なロール生成経路を整理する。
6. 安定微係数だけで表される簡易ラダー横転指数を定義する。
7. 簡易ラダー横転指数を、6 自由度有限時間ロール応答と比較する。

それではいってみよう。

線形横・方向モデルの定式化

機体軸は、

\begin{align} +x_b &: \text{前方}, \\ +y_b &: \text{右方}, \\ +z_b &: \text{下方} \end{align}

とする。

また、慣性テンソルは、

\begin{align} \mathbf{I}_b =\begin{bmatrix} I_x & 0 & -I_{xz} \\ 0 & I_y & 0 \\ -I_{xz} & 0 & I_z \end{bmatrix} \end{align}

とする。

状態量

横・方向の線形状態量を次で定義する。

ここで、\(\beta\)、\(\hat{p}\)、\(\hat r\)、\(\phi\)、\(\delta_r\) は、特に断らない限り基準飛行状態からの摂動量として扱う。

\begin{align} \mathbf{x} =\begin{bmatrix} \beta \\ \hat{p} \\ \hat r \\ \phi \end{bmatrix} \end{align}

ここで、無次元角速度は以下の式で表される。

\begin{align} \hat{p}=\frac{pb}{2V} \end{align}

\begin{align} \hat r=\frac{rb}{2V} \end{align}

無次元時間の微分

無次元時間 \(\tau=\dfrac{2V}{b}t\) の微分は以下のようになる。

\begin{align} \frac{d}{d\tau} =\frac{b}{2V}\frac{d}{dt} \end{align}

以降、\(t\) に関する微分をドット、\(\tau\) に関する微分をプライムで表す。

横滑り角の式

横方向の並進運動は、機体軸速度成分を用いると次で表される。

\begin{align} \dot v =pw-ru+\frac{Y}{m}+g\sin\phi\cos\theta \end{align}

小迎角・小横滑り・小バンク近似を用い、\(v\simeq V\beta\)、\(u\simeq V\) とすると、

\begin{align} \dot\beta \simeq \frac{Y}{mV}-r+\alpha_0p+\frac{g}{V}\phi \end{align}

となる。

横力係数を次のように線形化する。

\begin{align} C_Y =C_{Y\beta}\beta+C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat r}\hat r+C_{Y\delta_r}\delta_r \end{align}

VSPAERO の .stab を用いる場合、本文の \(C_Y\) とその微係数には、\(C_L\)、\(C_D\)、\(C_S\) から機体軸へ変換した横力係数を用いる。

\begin{align}
C_Y =-C_D\sin\beta+C_S\cos\beta
\end{align}

ここで、

\begin{align} Y&=q_\infty S C_Y \\ q_\infty&=\dfrac{1}{2}\rho V^2 \end{align}

とする。

無次元時間で書くと、横滑り角の式は次のようになる。

\begin{align} \beta' =\mu_Y\left(C_{Y\beta}\beta+C_{Y\hat{p}}\hat{p}+C_{Y\hat r}\hat r+C_{Y\delta_r}\delta_r\right) +\alpha_0\hat{p} -\hat r +\lambda_g\phi \end{align}

ここで、

\begin{align} \mu_Y &=\frac{q_\infty S b}{2mV^2}=\frac{\rho S b}{4m} \\ \lambda_g &=\frac{gb}{2V^2} \end{align}

である。

ロール率とヨーイング角速度の式

慣性乗積 \(I_{xz}\) を残し、角速度の積からなる 2 次項を省略すると、ロール・ヨーの線形回転運動は次で表される。

\begin{align} \dot p =\frac{I_zL+I_{xz}N}{I_xI_z-I_{xz}^2} \end{align}

\begin{align} \dot r =\frac{I_{xz}L+I_xN}{I_xI_z-I_{xz}^2} \end{align}

ここで、ロールモーメントとヨーイングモーメントは以下の式で表される。

\begin{align} L=q_\infty S b C_l \end{align}

\begin{align} N=q_\infty S b C_n \end{align}

空力モーメント係数を次のように線形化する。

\begin{align} C_l =C_{l\beta}\beta+C_{l\hat{p}}\hat{p}+C_{l\hat r}\hat r+C_{l\delta_r}\delta_r \end{align}

\begin{align} C_n =C_{n\beta}\beta+C_{n\hat{p}}\hat{p}+C_{n\hat r}\hat r+C_{n\delta_r}\delta_r \end{align}

無次元化すると、

\begin{align} \hat{p}' =\mu_I\left(I_zC_l+I_{xz}C_n\right) \end{align}

\begin{align} \hat r' =\mu_I\left(I_{xz}C_l+I_xC_n\right) \end{align}

となる。

ここで、

\begin{align} \mu_I =\frac{q_\infty S b^3}{4V^2\left(I_xI_z-I_{xz}^2\right)} \end{align}

である。

バンク角の式

小角近似では、バンク角の運動学は次で表される。

\begin{align} \dot\phi\simeq p \end{align}

無次元時間では、

\begin{align} \phi'=\hat{p} \end{align}

である。

状態行列と入力ベクトル

以上をまとめると、横・方向線形モデルは次の状態方程式で表せる。

\begin{align} \mathbf{x}'=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\delta_r \end{align}

状態行列 \(\mathbf{A}\) は以下の式で表される。

\begin{align} \mathbf{A} =\begin{bmatrix} \mu_Y C_{Y\beta} & \mu_Y C_{Y\hat{p}}+\alpha_0 & \mu_Y C_{Y\hat r}-1 & \lambda_g \\ \mu_I\left(I_zC_{l\beta}+I_{xz}C_{n\beta}\right) & \mu_I\left(I_zC_{l\hat{p}}+I_{xz}C_{n\hat{p}}\right) & \mu_I\left(I_zC_{l\hat r}+I_{xz}C_{n\hat r}\right) & 0 \\ \mu_I\left(I_{xz}C_{l\beta}+I_xC_{n\beta}\right) & \mu_I\left(I_{xz}C_{l\hat{p}}+I_xC_{n\hat{p}}\right) & \mu_I\left(I_{xz}C_{l\hat r}+I_xC_{n\hat r}\right) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align}

入力ベクトル \(\mathbf{B}\) は以下の式で表される。

\begin{align} \mathbf{B} =\begin{bmatrix} \mu_Y C_{Y\delta_r} \\ \mu_I\left(I_zC_{l\delta_r}+I_{xz}C_{n\delta_r}\right) \\ \mu_I\left(I_{xz}C_{l\delta_r}+I_xC_{n\delta_r}\right) \\ 0 \end{bmatrix} \end{align}

この \(\mathbf{A}\) と \(\mathbf{B}\) により、ラダー入力後の横滑り角、ロール率、ヨーイング角速度、バンク角の有限時間応答を線形モデルとして評価できる。

以降は、状態行列と入力ベクトルの成分を次のように表す。

\begin{align} \mathbf{A} =\begin{bmatrix} a_{\beta\beta} & a_{\beta p} & a_{\beta r} & a_{\beta\phi} \\ a_{p\beta} & a_{pp} & a_{pr} & 0 \\ a_{r\beta} & a_{rp} & a_{rr} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{B} =\begin{bmatrix} b_\beta \\ b_p \\ b_r \\ 0 \end{bmatrix} \end{align}

ここで、

\begin{align} a_{\beta\beta} &= \mu_Y C_{Y\beta}, \\ a_{\beta p} &= \mu_Y C_{Y\hat{p}}+\alpha_0, \\ a_{\beta r} &= \mu_Y C_{Y\hat r}-1, \\ a_{\beta\phi} &= \lambda_g, \\ a_{p\beta} &= \mu_I\left(I_zC_{l\beta}+I_{xz}C_{n\beta}\right), \\ a_{pp} &= \mu_I\left(I_zC_{l\hat{p}}+I_{xz}C_{n\hat{p}}\right), \\ a_{pr} &= \mu_I\left(I_zC_{l\hat r}+I_{xz}C_{n\hat r}\right), \\ a_{r\beta} &= \mu_I\left(I_{xz}C_{l\beta}+I_xC_{n\beta}\right), \\ a_{rp} &= \mu_I\left(I_{xz}C_{l\hat{p}}+I_xC_{n\hat{p}}\right), \\ a_{rr} &= \mu_I\left(I_{xz}C_{l\hat r}+I_xC_{n\hat r}\right) \end{align}

\begin{align} b_\beta &= \mu_YC_{Y\delta_r}, \\ b_p &= \mu_I\left(I_zC_{l\delta_r}+I_{xz}C_{n\delta_r}\right), \\ b_r &= \mu_I\left(I_{xz}C_{l\delta_r}+I_xC_{n\delta_r}\right) \end{align}

である。

ラダーステップ入力に対する線形解

線形状態方程式

\begin{align} \mathbf{x}'=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\delta_r \end{align}

において、時刻 \(\tau=0\) でラダー舵角 \(\delta_r\) をステップ入力したときの時間応答の解を求める。

初期状態は以下の式で表される。

\begin{align} \mathbf{x}(0)=\mathbf{0} \end{align}

同次方程式

\begin{align} \mathbf{x}'=\mathbf{A}\mathbf{x} \end{align}

の基本解は、

\begin{align} \exp(\mathbf{A}\tau) \end{align}

である。

したがって、非同次方程式の解を変数変化法で表すと、

\begin{align} \mathbf{x}(\tau) =\exp(\mathbf{A}\tau)\mathbf{x}(0) +\int_0^\tau \exp\left[\mathbf{A}(\tau-\sigma)\right]\mathbf{B}\delta_r\,d\sigma \end{align}

となる。

ここで \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{0}\) なので、第 1 項は消える。

したがって、

\begin{align} \mathbf{x}(\tau) =\int_0^\tau \exp\left[\mathbf{A}(\tau-\sigma)\right]\mathbf{B}\delta_r\,d\sigma \end{align}

である。

さらに、\(s=\tau-\sigma\) と置くと、\(ds=-d\sigma\) であり、積分範囲は \(\sigma=0\) で \(s=\tau\)、\(\sigma=\tau\) で \(s=0\) となる。

よって、

\begin{align} \mathbf{x}(\tau) &= \int_0^\tau \exp\left[\mathbf{A}(\tau-\sigma)\right]\mathbf{B}\delta_r\,d\sigma \\\\ &= \int_\tau^0 \exp(\mathbf{A}s)\mathbf{B}\delta_r(-ds) \\\\ &= \left[\int_0^\tau\exp(\mathbf{A}s)\,ds\right]\mathbf{B}\delta_r \end{align}

となる。

ロール率応答とバンク角応答

ロール率成分とバンク角成分を取り出すベクトルを次で定義する。

\begin{align} \mathbf{e}_{P} =\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{e}_{\phi} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align}

ここで、\(\mathbf{e}_{P}\) はロール率 \(\hat{p}\) を取り出し、\(\mathbf{e}_{\phi}\) はバンク角 \(\phi\) を取り出す。

ラダー舵角 \(\delta_r\) に対するロール率応答、バンク角変化は以下の式で表される。

\begin{align} \hat{p}_{\mathrm{lin}}(\tau) =\mathbf{e}_{P}^{\mathrm T} \left[\int_0^\tau\exp(\mathbf{A}s)\,ds\right] \mathbf{B}\delta_r \end{align}

\begin{align} \Delta\phi_{\mathrm{lin}}(\tau) =\mathbf{e}_{\phi}^{\mathrm T} \left[\int_0^\tau\exp(\mathbf{A}s)\,ds\right] \mathbf{B}\delta_r \end{align}

したがって、単位ラダー舵角あたりのロール率応答、バンク角変化は

\begin{align} \frac{\hat{p}_{\mathrm{lin}}(\tau)}{\delta_r} =\mathbf{e}_{P}^{\mathrm T} \left[\int_0^\tau\exp(\mathbf{A}s)\,ds\right] \mathbf{B} \end{align}

\begin{align} \frac{\Delta\phi_{\mathrm{lin}}(\tau)}{\delta_r} =\mathbf{e}_{\phi}^{\mathrm T} \left[\int_0^\tau\exp(\mathbf{A}s)\,ds\right] \mathbf{B} \end{align}

となる。

Taylor 展開による代数近似

線形有限時間応答は行列指数を含み、このままではよくわからないので、 Taylor 展開を使って多項式の形に書き下してみる。

行列指数を Taylor 展開すると、

\begin{align} \exp(\mathbf{A}s) =\mathbf{I}+\mathbf{A}s+\frac{1}{2}\mathbf{A}^2s^2+\frac{1}{6}\mathbf{A}^3s^3+\cdots \end{align}

である。

したがって、有限時間応答の積分は

\begin{align} \int_0^\tau\exp(\mathbf{A}s)\,ds =\tau\mathbf{I} +\frac{\tau^2}{2}\mathbf{A} +\frac{\tau^3}{6}\mathbf{A}^2 +\frac{\tau^4}{24}\mathbf{A}^3 +\cdots \end{align}

となる。

これをロール率応答とバンク角応答に代入すると

\begin{align} \frac{\hat{p}_{\mathrm{lin}}(\tau)}{\delta_r} =\mathbf{e}_{P}^{\mathrm T} \left(\tau\mathbf{I}+\frac{\tau^2}{2}\mathbf{A}+\frac{\tau^3}{6}\mathbf{A}^2+\frac{\tau^4}{24}\mathbf{A}^3+\cdots\right) \mathbf{B} \end{align}

\begin{align} \frac{\Delta\phi_{\mathrm{lin}}(\tau)}{\delta_r} =\mathbf{e}_{\phi}^{\mathrm T} \left(\tau\mathbf{I}+\frac{\tau^2}{2}\mathbf{A}+\frac{\tau^3}{6}\mathbf{A}^2+\frac{\tau^4}{24}\mathbf{A}^3+\cdots\right) \mathbf{B} \end{align}

である。

ここで、

\begin{align} \mathbf{e}_{\phi}^{\mathrm T}\mathbf{A} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{\beta\beta} & a_{\beta p} & a_{\beta r} & a_{\beta\phi} \\ a_{p\beta} & a_{pp} & a_{pr} & 0 \\ a_{r\beta} & a_{rp} & a_{rr} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\\\\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} =\mathbf{e}_{P}^{\mathrm T} \end{align}

が成り立つので、バンク角応答の係数列を

\begin{align} K_n &= \mathbf{e}_{\phi}^{\mathrm T}\mathbf{A}^n\mathbf{B} =\mathbf{e}_{P}^{\mathrm T}\mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B}, \qquad n=1,2,3,\cdots, \\\\ K_0 &= \mathbf{e}_{\phi}^{\mathrm T}\mathbf{B} =0 \end{align}

と定義すると、ロール率応答とバンク角応答の式は以下のように整理できる。

\begin{align}
\frac{\hat{p}_{\mathrm{lin}}(\tau)}{\delta_r} &= \tau K_1+\frac{\tau^2}{2}K_2+\frac{\tau^3}{6}K_3+\cdots, \\
\frac{\Delta\phi_{\mathrm{lin}}(\tau)}{\delta_r} &= \frac{\tau^2}{2}K_1+\frac{\tau^3}{6}K_2+\frac{\tau^4}{24}K_3+\cdots
\end{align}

ここで、

\begin{align} K_1 &=b_p \\ K_2 &=a_{p\beta}b_\beta+a_{pp}b_p+a_{pr}b_r \\ K_3 &= a_{p\beta}\left(a_{\beta\beta}b_\beta+a_{\beta p}b_p+a_{\beta r}b_r\right) +a_{pp}\left(a_{p\beta}b_\beta+a_{pp}b_p+a_{pr}b_r\right) +a_{pr}\left(a_{r\beta}b_\beta+a_{rp}b_p+a_{rr}b_r\right) \end{align}

である。

バンク角応答は、ロール率応答を時間積分したものなので、ロール率応答と同じ \(K_n\) が 1 回積分した時間のべき乗の係数として現れる。

Taylor 展開では、\(\mathbf{B}\) がラダー入力の直接的な作用を表し、状態行列 \(\mathbf{A}\) を掛けるたびに、状態量を介した連成経路が 1 段階ずつ加わる。

\(K_1\) は、

\begin{align} K_1 =\mathbf{e}_{P}^{\mathrm T}\mathbf{B} \end{align}

であり、ラダー入力が最初にロール加速度へ入る直接的な作用を表す。

すなわち、

\begin{align} \delta_r \rightarrow \hat{p} \end{align}

という経路である。

\(K_2\) は、

\begin{align} K_2 =\mathbf{e}_{P}^{\mathrm T}\mathbf{A}\mathbf{B} \end{align}

であり、ラダー入力によって最初の状態変化が生じ、その状態変化がロール率へ入る 2 段階の作用を表す。

代表的には、

\begin{align} \delta_r &\rightarrow \beta \rightarrow \hat{p}, \\ \delta_r &\rightarrow \hat r \rightarrow \hat{p} \end{align}

という経路である。

\(K_3\) は、

\begin{align} K_3 =\mathbf{e}_{P}^{\mathrm T}\mathbf{A}^2\mathbf{B} \end{align}

であり、ラダー入力によって状態変化が生じ、その状態変化が別の状態を作り、さらにロール率へ入る 3 段階の作用を表す。

例えば、

\begin{align} \delta_r \rightarrow \hat r \rightarrow \beta \rightarrow \hat{p} \end{align}

という経路である。

線形有限時間ロール応答の近似式

ラダーのみでバンク角を作る機体の横転性能の簡易指標を得るため、次の近似を置く。

• 左右対称機で主慣性軸と機体軸のずれが小さいとして、\(I_{xz}\simeq0\) とする。
• 低迎角近似として、\(\alpha_0\simeq0\) とする。
• 側力の rate 微係数 \(C_{Y\hat{p}}\)、\(C_{Y\hat r}\) は副次的とする。
• ヨーイングモーメントの roll-rate 微係数 \(C_{n\hat{p}}\) は副次的とする。

入力ベクトルが直接作る作用

入力ベクトルが直接作る作用を表す係数は

\begin{align} K_1=b_p \end{align}

である。

ここで、

\begin{align} b_p =\mu_I\left(I_zC_{l\delta_r}+I_{xz}C_{n\delta_r}\right) \end{align}

であるから、入力ベクトルが直接作る作用を表す係数は

\begin{align} K_1 =\mu_I\left(I_zC_{l\delta_r}+I_{xz}C_{n\delta_r}\right) \end{align}

である。左右対称機で主慣性軸と機体軸のずれが小さいとして \(I_{xz}\simeq0\) とすれば、

\begin{align} K_{1,\mathrm{simple}} =\mu_I I_zC_{l\delta_r} \end{align}

となる。

右辺 \(\mu_I I_zC_{l\delta_r} \) は

• ラダーによる側力が、機体の重心周りのZ方向距離によって、直接ローリングモーメントを生じさせる経路

を表している。

ラダーの空力中心が重心のZ方向位置の近くにある場合や、長スパン・大上反角航空機で他の項が支配的な場合などにおいては、この項は無視できることが多い

状態行列を 1 回介する作用

ここからは、ラダーの直接ローリングモーメントを副次的として、\(C_{l\delta_r}\simeq0\) とする。

状態行列を 1 回介する作用を表す係数は

\begin{align} K_2 =a_{p\beta}b_\beta+a_{pp}b_p+a_{pr}b_r \end{align}

である。

ここに、以下の近似

\begin{align} b_\beta &\simeq \mu_YC_{Y\delta_r}, \\ b_p &\simeq 0, \\ b_r &\simeq \mu_I I_xC_{n\delta_r} \end{align}

を適用すると

\begin{align} K_2\simeq a_{p\beta}b_\beta+a_{pr}b_r \end{align}

となる。これに、

\begin{align}
a_{p\beta} &\simeq \mu_I I_zC_{l\beta}, \\
a_{pr} &\simeq \mu_I I_zC_{l\hat r}, \\
\end{align}

を代入すると、

\begin{align} K_{2,\mathrm{simple}} &\simeq \left(\mu_I I_zC_{l\beta}\right)\left(\mu_YC_{Y\delta_r}\right) +\left(\mu_I I_zC_{l\hat r}\right)\left(\mu_I I_xC_{n\delta_r}\right) \\ &= \mu_I\mu_Y I_zC_{l\beta}C_{Y\delta_r} +\mu_I^2I_xI_zC_{l\hat r}C_{n\delta_r} \end{align}

となる。

第 1 項 \(\mu_I\mu_Y I_zC_{l\beta}C_{Y\delta_r}\) は

• ラダー側力で横滑りを作り、
• 上反角効果でロールする経路（※）

第 2 項 \(\mu_I^2I_xI_zC_{l\hat r}C_{n\delta_r}\) は

• ラダーでヨーイング角速度を作り、
• ヨーイング角速度とロール角速度の連成でロールする経路

を表す。

※ 例えば、右バンクをしようとして、\(\delta_r<0\)（右ヨーイング方向）のラダーを切ったとき、ラダーの側力 \(C_{Y\delta_r}\delta_r\) は機体後方から見て左向きに生じる。第 1 項 \(\mu_I\mu_Y I_zC_{l\beta}C_{Y\delta_r}\) はこの左向きの力により、機体全体が左向きの速度を生じ、\(\beta<0\)（左からの相対風）となり、この \(\beta\) によって機体が右にバンクする効果を表している。

長スパン・大上反角航空機では、第2項の影響が支配的であり、第1項の影響は無視できることが多い。

状態行列を 2 回介する作用

ここからは、さらに、ラダーにより生じる側力を副次的として、\(C_{Y\delta_r}\simeq0\) とする。

一般形の 状態行列を 2 回介する作用を表す係数は、以下の式で表される。

\begin{align} K_3 =a_{p\beta}\left(a_{\beta\beta}b_\beta+a_{\beta p}b_p+a_{\beta r}b_r\right) +a_{pp}\left(a_{p\beta}b_\beta+a_{pp}b_p+a_{pr}b_r\right) +a_{pr}\left(a_{r\beta}b_\beta+a_{rp}b_p+a_{rr}b_r\right) \end{align}

ここに、近似の前提

\begin{align} b_p &\simeq 0, \\ b_\beta &\simeq 0, \\ a_{\beta p} &\simeq 0, \\ a_{rp} &\simeq 0, \\ a_{\beta r} &\simeq -1 \end{align}

を代入すると、

\begin{align} K_{3,\mathrm{simple}} \simeq -a_{p\beta}b_r+a_{pp}K_{2,\mathrm{simple}}+a_{pr}a_{rr}b_r \end{align}

となり、以下の係数

\begin{align}
a_{p\beta} &\simeq \mu_I I_zC_{l\beta}, \\
a_{pp} &\simeq \mu_I I_zC_{l\hat{p}}, \\
a_{pr} &\simeq \mu_I I_zC_{l\hat r}, \\
a_{rr} &\simeq \mu_I I_xC_{n\hat r}, \\
b_r &\simeq \mu_I I_xC_{n\delta_r}
\end{align}

を順に代入すると、

\begin{align} -a_{p\beta}b_r &\simeq-\mu_I^2I_xI_zC_{l\beta}C_{n\delta_r} \\ a_{pp}K_{2,\mathrm{simple}} &\simeq\mu_I I_zC_{l\hat{p}}K_{2,\mathrm{simple}} \\ a_{pr}a_{rr}b_r &\simeq\mu_I^3I_x^2I_zC_{l\hat r}C_{n\hat r}C_{n\delta_r} \end{align}

である。

以上より、状態行列を 2 回介する作用を表す係数の近似式は次の式になる。

\begin{align} K_{3,\mathrm{simple}} \simeq -\mu_I^2I_xI_zC_{l\beta}C_{n\delta_r} +\mu_I I_zC_{l\hat{p}}K_{2,\mathrm{simple}} +\mu_I^3I_x^2I_zC_{l\hat r}C_{n\hat r}C_{n\delta_r} \end{align}

ここで、

\begin{align} K_{2,\mathrm{simple}} =\mu_I\mu_YI_zC_{l\beta}C_{Y\delta_r} +\mu_I^2I_xI_zC_{l\hat r}C_{n\delta_r} \end{align}

について、 \(C_{Y\delta_r}\) の項を副次的として無視して代入すると

\begin{align} K_{3,\mathrm{simple}} =-\mu_I^2I_xI_zC_{l\beta}C_{n\delta_r} +\mu_I^3I_xI_z^2C_{l\hat{p}}C_{l\hat r}C_{n\delta_r} +\mu_I^3I_x^2I_zC_{l\hat r}C_{n\hat r}C_{n\delta_r} \end{align}

となる。

第1項 \(-\mu_I^2I_xI_zC_{l\beta}C_{n\delta_r}\) は、

• ラダーによってヨーイング角速度が生じ、
• ヨーイングにより \(\beta\) が生じ、
• その \(\beta\) が \(C_{l\beta}\) を通じてロールへ入る経路

第2項 \(\mu_I^3I_xI_z^2C_{l\hat{p}}C_{l\hat r}C_{n\delta_r}\) は、

• ラダーによってヨーイング角速度が生じ、
• \(C_{l\hat r}\) を通じてロール率を作り、
• そのロール率にロール減衰 \(C_{l\hat{p}}\) が作用する経路

第3項 \(\mu_I^3I_x^2I_zC_{l\hat r}C_{n\hat r}C_{n\delta_r}\) は、

• ラダーによってヨーイング角速度が生じ、
• それに対してヨー減衰 \(C_{n\hat r}\) が生じ、
• ヨー減衰が \(C_{lr}\) によってローリングに影響を与える経路

である。

第2項と第3項は、減衰の影響を表す項なので、ロールの生成に関係するのは第1項のみである。

ロール生成能力の指標

以上より、初期のバンクの生成のみにかかわる主要な経路を Taylor展開の時数を無視してまとめると、以下のようになる。

\begin{align} K \simeq \mu_I I_zC_{l\delta_r} +\mu_I\mu_YI_zC_{l\beta}C_{Y\delta_r} +\mu_I^2I_xI_zC_{l\hat r}C_{n\delta_r} -\mu_I^2I_xI_zC_{l\beta}C_{n\delta_r} \end{align}

ここで、

• 第 1 項はラダーによる直接ロール、
• 第 2 項はラダー側力から横滑りを介した上反角効果、
• 第 3 項はラダーヨーイングモーメントからヨーイング角速度を生じロール角速度連成へ入る経路、
• 第 4 項はヨーイング角速度によって生じた \(\beta\) が上反角効果へ入る経路

である。

上式は次のようにもまとめられる。

\begin{align} K \simeq \mu_I^2I_xI_z \left( \frac{1}{\mu_II_x}C_{l\delta_r} +\frac{\mu_Y}{\mu_II_x}C_{l\beta}C_{Y\delta_r} +C_{l\hat r}C_{n\delta_r} -C_{l\beta}C_{n\delta_r} \right) \end{align}

である。

ここで、\(I_{xz}\simeq0\) とすると、

\begin{align} \mu_I &\simeq \frac{q_\infty S b^3}{4V^2I_xI_z}, \qquad \mu_Y &= \frac{q_\infty S b}{2mV^2} \end{align}

より、

\begin{align} \mu_II_x &\simeq \frac{q_\infty S b^3}{4V^2I_z}, \\\\ \frac{1}{\mu_II_x} &\simeq \frac{4V^2I_z}{q_\infty S b^3} \\\\ \frac{\mu_Y}{\mu_II_x} &=\frac{{q_\infty S b}/{2mV^2}}{{q_\infty S b^3}/{4V^2I_z}} =\frac{2I_z}{mb^2} \\\\ \mu_I^2I_xI_z &\simeq \frac{q_\infty^2S^2b^6I_xI_z}{16V^4\left(I_xI_z\right)^2} =\frac{q_\infty^2S^2b^6}{16V^4I_xI_z} \end{align}

上式に

\begin{align} q_\infty=\frac{1}{2}\rho V^2 \end{align}

を代入して、\(K\) を整理すると、

\begin{align} K \simeq \frac{\rho^2S^2b^6}{64I_xI_z} \left( \frac{4V^2I_z}{q_\infty S b^3}C_{l\delta_r} +\frac{2I_z}{mb^2}C_{l\beta}C_{Y\delta_r} +C_{l\hat r}C_{n\delta_r} -C_{l\beta}C_{n\delta_r} \right) \end{align}

である。

グライダーなどの長スパン航空機では、第 1 項と第 2 項は主項に対して概ね小さく、横転性能の主傾向を見る簡易指標では省略できる。

したがって、主指標は次の形になる。

\begin{align} K \simeq \frac{\rho^2S^2b^6}{64I_xI_z} \left(C_{l\hat r}-C_{l\beta}\right)C_{n\delta_r} \end{align}

となる。

また、主翼の慣性モーメントへの寄与が支配的で、質量分布が相似に保たれると近似すれば、

\begin{align} I_xI_z\propto m^2b^4 \end{align}

となり、

\begin{align} K \propto \frac{\rho^2S^2b^2}{m^2} \left( C_{l\hat r} -C_{l\beta} \right) C_{n\delta_r} \end{align}

となる。

設計指標として \(m\)、\(S\)、\(b\) を固定するなら、簡易ラダー横転指数を、

\begin{align} K_{\mathrm{rudder,roll}} =\left( C_{l\hat r} -C_{l\beta} \right) C_{n\delta_r} \end{align}

と定義できる。

VvGammaChart.py の postprocess_vv_gamma_cases() では、この値を simple_rudder_roll_index として出力する。

6 自由度有限時間応答との比較

最後に、ここまでの議論で得られた簡易ラダー横転指数が、横転性能の設計指標として機能するかを確認する。

比較には、VSPAERO の .stab から得た線形空力モデルを用いて、非線形剛体 6 自由度運動方程式を数値積分した結果を用いる。

ラダーをステップ入力し、所定の符号付きバンク角変化へ到達するまでの時間を用いて、6 自由度有限時間ロール応答指標を次で定義する。

\begin{align} K_{\mathrm{6DOF}} =\frac{b}{2V} \frac{ \Delta\phi_{\mathrm{target}}/ \Delta t_{\mathrm{reach}} }{ \delta_r } \end{align}

ここで、\(\Delta t_{\mathrm{reach}}\) は、ラダー入力開始から目標バンク角変化 \(\Delta\phi_{\mathrm{target}}\) へ初めて到達するまでの時間である。

この指標は、目標バンク角変化へ到達するまでの平均バンク角速度を無次元化した量である。

6 自由度剛体運動シミュレーションの詳細は、以下の記事に譲る。

航空機のラダーのみ旋回の 6 自由度剛体運動をシミュレーションする Python スクリプト

また、以下の記事

において、垂直尾翼容積比 \(V_v\) と等価上反角 \(\Gamma_{\mathrm{eff}}\) をパラメトリックに変化させ、次の条件

\begin{align} V &= 10\ \mathrm{m/s}, \\ \delta_r &= -10\ \mathrm{deg}, \\ \Delta\phi_{\mathrm{target}} &= 2\ \mathrm{deg} \end{align}

で計算したところ、全 231 ケースのうち、目標バンク角変化へ到達したのは 174 ケースで、6 自由度有限時間ロール応答指標は、

\begin{align} -0.0982 \le K_{\mathrm{6DOF}} \le -0.0126 \end{align}

の範囲にあった。

ここで、\(K_{6DOF}\) の負の符号は、右ヨーイングのラダー入力（\(\delta_r<0\)）に対して、右バンク（\(\hat{p}>0\)、\(\phi>0\)）が生じることを示している。

簡易ラダー横転指数と 6 自由度有限時間ロール応答指標の 相関係数は、

\begin{align} r\left( K_{\mathrm{rudder,roll}}, K_{\mathrm{6DOF}} \right) \simeq 0.973 \end{align}

であり、

\begin{align} K_{\mathrm{rudder,roll}} =\left( C_{l\hat r} -C_{l\beta} \right) C_{n\delta_r} \end{align}

は、今回の解析範囲では、垂直尾翼容積比と上反角の組合せによるラダー横転性能の主傾向を見る簡易指標として機能していることが確認できた。

設計初期には simple_rudder_roll_index で候補領域を絞り込み、その後で 6 自由度時刻歴と \(\Delta t_{\mathrm{reach}}\) を確認する流れが使いやすい。

おわりに

ラダーのみで旋回する航空機の横転性能について説明した。