鳥コン滑空機における横・方向の微小擾乱理論

鳥コン滑空機のような大きな上反角を持つ機体に対する横・方向の微小擾乱理論について説明する

はじめに

航空機の安定性解析では，微小擾乱理論と呼ばれる考え方が使われる

微小擾乱理論については以下の書籍が参考になる

通称：白本

通称：青本

安定微係数の推算については白本の第4章が，運動方程式の立式や微小擾乱方程式については青本の第1章・第2章・第3章がわかりやすい（わかりやすいとは言ってない）

ただし，白本の横・方向の安定微係数の推算(白本:p.89~)では以下の仮定が行われている

• 横方向の力\(Y\)については主翼の影響を無視（白本:P.91）
• 主翼の上反角\(\Gamma\)については小さいとし，スパン方向に一定（白本:p.93）
• 揚力係数\(C_{L_{0}}\)，揚力傾斜\(a_{1}\)はスパン方向に一定（白本:p.93, 98）

これらの仮定を鳥コン滑空機に適用するには無理があるので，より厳密な安定微係数の推算方法を考えてみる

ただし，以下の仮定を採用する

• 翼の左右のたわみやねじれは等しく，フライトを通して一定である
• 胴体の影響は無視できる（鳥コン滑空機では主翼に比べて胴体がかなり小さいため）
  

横・方向の微小擾乱の概要

微小擾乱理論において，横向きにはたらく力\(Y\)，ローリングモーメント\(L\)，ヨーイングモーメント\(N\)はそれぞれ次のように表される（青本:p.22~25）

\begin{eqnarray}
Y&=&\frac{1}{2}\rho V^{2}SC_{y}\\
\\
C_{y}&=&C_{y_{\beta}}\beta+C_{y_{p}}\frac{pb}{2V}+C_{y_{r}}\frac{rb}{2V}+C_{y_{\delta_{r}}}\delta_{r}\\
\\
L&=&\frac{1}{2}\rho V^{2}SbC_{l}\\
N&=&\frac{1}{2}\rho V^{2}SbC_{n}\\
\\
C_{l}&=&C_{l_{\beta}}\beta+C_{l_{p}}\frac{pb}{2V}+C_{l_{r}}\frac{rb}{2V}+C_{l_{\delta_{r}}}\delta_{r}\\
C_{n}&=&C_{n_{\beta}}\beta+C_{n_{p}}\frac{pb}{2V}+C_{n_{r}}\frac{rb}{2V}+C_{n_{\delta_{r}}}\delta_{r}\\
\end{eqnarray}

なお，主翼が寄与する安定微係数の推算では，右翼の揚力増加に着目して計算し，それを2倍することによって主翼全体の安定微係数を計算する

\(\beta\)の影響

機体が速度\(V\)，横滑り角\(\beta\)で飛行しているとき，横方向の速度\(v\)は次の式で表される（青本:p.21）

\begin{eqnarray}
v=V\sin{\beta}
\end{eqnarray}

上反角が\(\Gamma\)のとき，翼の迎角増加\(\Delta\alpha\)および揚力増加\(\Delta L\)は次の式で求まる（白本:p.93）

\begin{eqnarray}
\Delta \alpha &\simeq& \arctan{\frac{v\sin{\Gamma}}{V}}
\simeq \sin{\beta} \sin{\Gamma}
\simeq \beta \sin{\Gamma}\tag{1a} \\
\\
\Delta L &=& \frac{1}{2}\rho V^{2} \mathrm{dS} \Delta C_{L} \\
&=& \frac{1}{2}\rho V^{2} c\mathrm{dy} a_{1} \Delta \alpha \\
&=& \frac{1}{2}\rho V^{2} a_{1} \beta \sin{\Gamma} c \mathrm{dy} \tag{1b} \\
\end{eqnarray}

\(p\)の影響

機体が速度\(V\)，ロール角速度\(p\)で飛行しているとき，スパン位置\(y\)における迎角増加\(\Delta \alpha\)は次の式で表される（白本:p.95）

\begin{eqnarray}
\Delta \alpha &=& \arctan{\frac{py\cos{\Gamma}}{V}}
\simeq \frac{py}{V}\cos{\Gamma} \tag{2a} \\
\end{eqnarray}

よって，翼素の揚力増加\(\Delta L\)は次の式で求まる

\begin{eqnarray}
\Delta L &=& \frac{1}{2}\rho V^{2} \mathrm{dS} \Delta C_{L} \\
&=& \frac{1}{2}\rho V^{2} c\mathrm{dy} a_{1} \Delta \alpha \\
&=& \frac{1}{2}\rho V^{2} a_{1} \frac{py}{V} \cos{\Gamma} c \mathrm{dy} \tag{2b} \\
\end{eqnarray}

\(r\)の影響

機体が速度\(V\)，ヨー角速度\(r\)で飛行しているとき，スパン位置\(y\)における速度増加\(\Delta V\)は次の式で表される（白本:p.95）

\begin{eqnarray}
\Delta V = -ry \\
\end{eqnarray}

よって，翼素の揚力増加\(\Delta L\)は次の式で求まる

\begin{eqnarray}
\Delta L &=& \frac{1}{2}\rho (V-ry)^{2} \mathrm{dS} C_{L}-\frac{1}{2}\rho V^{2} \Delta S C_{L} \\
&=& \frac{1}{2}\rho \left\{(V-ry)^{2}-V^{2}\right\} c\mathrm{dy} C_{L} \\
&=& \frac{1}{2}\rho (2V-ry)(-ry) C_{L} c \mathrm{dy}\\
&\simeq& \frac{1}{2}\rho (-2Vry) C_{L} c \mathrm{dy} \tag{3} \\
\end{eqnarray}

\(\Delta \alpha\)の影響

迎角\(\alpha\)で飛行しているとき，x軸方向とz軸方向にはたらく力は次の式で表される（青本:p.23）

\begin{eqnarray}
X&=&\frac{1}{2}\rho V^{2} S C_{x}\\
Z&=&\frac{1}{2}\rho V^{2} S C_{z}\\
\\
C_{x}&=&C_{L}\sin{\alpha}-C_{D}\cos{\alpha}\\
C_{z}&=&-C_{L}\cos{\alpha}-C_{D}\sin{\alpha}\simeq-C_{L}\\
\end{eqnarray}

ここで，迎角が変化したときのx方向の力の増加\(\Delta X\)は次の式で表される

\begin{eqnarray}
\Delta C_{x}&=&\frac{\partial C_{x}}{\partial \alpha}\Delta \alpha\\
&=& \left(C_{L_{\alpha}}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}-C_{D_{\alpha}}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right)\Delta \alpha \\
&\simeq& \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right)\Delta \alpha \\
\\
\Delta X &=& \frac{1}{2}\rho V^{2} \mathrm{dS}\Delta C_{x}\\
&=& \frac{1}{2}\rho V^{2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right)\Delta \alpha c\mathrm{dy} \tag{4} \\
\end{eqnarray}

ただし，迎角の小さい範囲では\(C_{D}= const.\)（\(C_{D_{\alpha}}= 0\)）とした

\(\Gamma\)の影響

上反角\(\Gamma\)は，横滑り角\(\beta\)によって迎角を増加させるだけではなく，揚力をyz平面内に傾けるはたらきがある

上反角\(\Gamma\)を持つ翼素に揚力\(L\)がはたらいているとき，y方向，z方向の力はそれぞれ次のように求まる

\begin{eqnarray}
Y&=&-L\sin{\Gamma} \tag{5}\\
Z&=&-L\cos{\Gamma} \tag{6}\\
\end{eqnarray}

\(C_{y_{\beta}}\)

\(C_{y_{\beta}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{y_{\beta}} = (C_{y_{\beta}})_{wing}+(C_{y_{\beta}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\(C_{y_{\beta_{w}}}\)は式(1b)，(5)より次のように求まる

\begin{eqnarray}
(Y)_{wing} &=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \sin{\Gamma}\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2}a_{1} \beta \sin{\Gamma}^2 c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{y})_{wing} &=& -\frac{2}{S} \int_{0}^{b/2} a_{1} \sin{\Gamma}^2 \beta c \mathrm{dy} \\
\\
(C_{y_{\beta}})_{wing} &=& -\frac{2}{S} \int_{0}^{b/2} a_{1} \sin{\Gamma}^2 c \mathrm{dy}\\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{y_{\beta}})_{fin}\)は次の式で表される（白本:p.91）

\begin{eqnarray}
(C_{y_{\beta}})_{f}
=-\frac{S_{f}}{S}a_{f}\left(1-\frac{\partial\sigma}{\partial\beta}\right)
\simeq-\frac{S_{f}}{S}a_{f}
\end{eqnarray}

\(C_{y_{p}}\)

\(C_{y_{p}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{y_{p}} = (C_{y_{p}})_{wing}+(C_{y_{p}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{y_{p}})_{wing}\)は式(2b)，(5)より次のように求まる

\begin{eqnarray}
(Y)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \sin{\Gamma}\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2} a_{1} \frac{py}{V} \sin{\Gamma}\cos{\Gamma}c \mathrm{dy} \\
\\
(C_{y})_{wing} &=& -\frac{2}{S} \int_{0}^{b/2} a_{1} \frac{py}{V} \sin{\Gamma}\cos{\Gamma} c\mathrm{dy} \\
&=& -\frac{4}{Sb} \int_{0}^{b/2} a_{1} \frac{pb}{2V} y\sin{\Gamma}\cos{\Gamma} c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{y_{p}})_{wing} &=& -\frac{4}{Sb} \int_{0}^{b/2} a_{1} y\sin{\Gamma}\cos{\Gamma} c \mathrm{dy}\\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{y_{p}})_{fin}\)は次の式で表される（白本:p.99）

\begin{eqnarray}
(C_{y_{p}})_{fin}
=-\frac{S_{f}}{S}a_{f}\left(\frac{2z_{fp}}{b}-\frac{\partial\sigma}{\partial {\hat p}}\right)
\simeq -\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{y_{r}}\)

\(C_{y_{r}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{y_{r}} = (C_{y_{r}})_{wing}+(C_{y_{r}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{y_{r}})_{wing}\)は式(3)，(5)より次のように求まる

\begin{eqnarray}
(Y)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \sin{\Gamma}\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho (-2Vry) C_{L}\sin{\Gamma} c\mathrm{dy}\\
\\
(C_{y})_{wing} &=& \frac{4}{S} \int_{0}^{b/2} C_{L} \frac{ry}{V} \sin{\Gamma} c\mathrm{dy} \\
&=& \frac{8}{Sb} \int_{0}^{b/2} C_{L} \frac{rb}{2V} y\sin{\Gamma} c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{y_{r}})_{wing} &=& \frac{8}{Sb} \int_{0}^{b/2} C_{L} y\sin{\Gamma} c\mathrm{dy}\\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{y_{r}})_{fin}\)は次の式で表される（白本:p.102）

\begin{eqnarray}
(C_{y_{r}})_{fin}=\frac{S_{f}}{S}a_{f}\left(\frac{2l_{f}}{b}+\frac{\partial \sigma}{\partial {\hat r}}\right)
\simeq \frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{y_{\delta_{r}}}\)

\(C_{y_{\delta_{r}}}\)は垂直尾翼の寄与のみであり，以下の式で求められる（白本:p.91）

\begin{eqnarray}
C_{y_{\delta_{r}}} = \frac{S_{f}}{S}a_{f}\tau
\end{eqnarray}

\(C_{l_{\beta}}\)

\(C_{l_{\beta}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{l_{\beta}} = (C_{l_{\beta}})_{wing}+(C_{l_{\beta}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{l_{\beta}})_{wing}\)は式(1b)，(5)，(6)より次のように求まる（白本p.92~95）

\begin{eqnarray}
(L)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \left(\Delta L \cos{\Gamma}\times y + \Delta L \sin{\Gamma}\times z\right)\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2} a_{1} \beta \sin{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)c \mathrm{dy} \\
\\
(C_{l})_{wing} &=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} a_{1} \beta \sin{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)c \mathrm{dy} \\
\\
(C_{l_{\beta}})_{wing} &=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} a_{1} \sin{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy}\\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{l_{\beta}})_{fin}\)は次の式で表される

\begin{eqnarray}
(C_{l_{\beta}})_{fin}=(C_{y_{\beta}})_{fin}\frac{z_{f}}{b}
=-\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{z_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{l_{p}}\)

\(C_{l_{p}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{l_{p}} = (C_{l_{p}})_{wing}+(C_{l_{p}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\(C_{l_{p}}\)は，式(2b)，(5)，(6)より次のように求まる（白本:p.95）

\begin{eqnarray}
(L)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2} a_{1} \frac{py}{V} \cos{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{l})_{wing}
&=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} a_{1} \frac{py}{V} \cos{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
&=& -\frac{4}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} a_{1} \frac{pb}{2V}y \cos{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{l_{p}})_{wing} &=& -\frac{4}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} a_{1} y \cos{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{l_{p}})_{fin}\)は次の式で表される

\begin{eqnarray}
(C_{l_{p}})_{fin}=(C_{y_{p}})_{fin}\frac{z_{f}}{b}
=-\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}\frac{z_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{l_{r}}\)

\(C_{l_{r}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{l_{r}} = (C_{l_{r}})_{wing}+(C_{l_{r}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\(C_{l_{r_{w}}}\)は式(3)，(5)，(6)より次のように求まる（白本:p.99）

\begin{eqnarray}
(L)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho (-2Vry) C_{L} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)c \mathrm{dy} \\
\\
(C_{l})_{wing}
&=& \frac{4}{Sb} \int_{0}^{b/2} C_{L} \frac{ry}{V} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
&=& \frac{8}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} C_{L}\frac{rb}{2V} y \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{l_{r}})_{wing} &=& \frac{8}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} C_{L} y \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{l_{r}})_{fin}\)は次の式で表される（白本:p.101）

\begin{eqnarray}
(C_{l_{r}})_{fin}=(C_{y_{r}})_{fin}\frac{z_{f}}{b}
=\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}\frac{z_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{l_{\delta_{r}}}\)

\(C_{l_{\delta_{r}}}\)は垂直尾翼の寄与のみであり，以下の式で求められる

\begin{eqnarray}
C_{l_{\delta_{r}}} = C_{y_{\delta_{r}}}\frac{z_{f}}{b}
= \frac{S_{f}}{S}a_{f}\tau\frac{z_{f}}{b} \\
\end{eqnarray}

\(C_{n_{\beta}}\)

\(C_{n_{\beta}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{n_{\beta}} = (C_{n_{\beta}})_{wing}+(C_{n_{\beta}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{n_{\beta}})_{wing}\)は式(1a)，(4)より次のように求まる

\begin{eqnarray}
(N)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta X \times y\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \beta \sin{\Gamma} yc \mathrm{dy} \\
\\
(C_{n})_{wing} &=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \beta \sin{\Gamma} y c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{n_{\beta}})_{wing} &=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \sin{\Gamma} y c\mathrm{dy}\\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{n_{\beta}})_{fin}\)は次の式で表される（白本:p.91）

\begin{eqnarray}
(C_{n_{\beta}})_{fin}=-(C_{y_{\beta}})_{fin}\frac{l_{f}}{b}=\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{l_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{n_{p}}\)

\(C_{n_{p}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{n_{p}} = (C_{n_{p}})_{wing}+(C_{n_{p}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{n_{p}})_{wing}\)は式(2a)，(4)より次のように求まる

\begin{eqnarray}
(N)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta X \times y\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \frac{py}{V}\cos{\Gamma} yc \mathrm{dy} \\
\\
(C_{n})_{wing}
&=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \frac{py}{V}\cos{\Gamma} y c\mathrm{dy} \\
&=& -\frac{4}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \frac{pb}{2V}\cos{\Gamma} y^{2} c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{n_{p}})_{wing} &=& -\frac{4}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \cos{\Gamma} y^{2} c\mathrm{dy} \\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{n_{p}})_{fin}\)は次の式で表される（白本:p.91）

\begin{eqnarray}
(C_{n_{p}})_{fin}=-(C_{y_{p}})_{fin}\frac{l_{f}}{b}
=\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}\frac{l_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{n_{r}}\)

\(C_{n_{r}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{n_{r}} = (C_{n_{r}})_{wing}+(C_{n_{r}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{n_{r}})_{wing}\)は式(3)の\(C_{L}\)を\(C_{x}\)とすると次のように求まる（白本:p.101）

\begin{eqnarray}
(N)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta X \times y\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho (-2Vry) C_{x} y c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{n})_{wing}
&=& \frac{4}{Sb} C_{x} \frac{ry}{V} y c\mathrm{dy} \\
&=& \frac{8}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} (C_{L}\sin{\alpha}-C_{D}\cos{\alpha}) \frac{rb}{2V} y^{2} c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{n_{r}})_{wing} &=& \frac{8}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} (C_{L}\sin{\alpha}-C_{D}\cos{\alpha}) y^{2} c\mathrm{dy} \\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{n_{r}})_{fin}\)は次の式で表される（白本:p.101）

\begin{eqnarray}
(C_{n_{r}})_{fin}=(C_{y_{r}})_{fin}\frac{l_{f}}{b}
=-\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}\frac{l_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{n_{\delta_{r}}}\)

\(C_{n_{\delta_{r}}}\)は垂直尾翼の寄与のみであり，以下の式で求められる（白本:p.91）

\begin{eqnarray}
C_{n_{\delta_{r}}} = -(C_{y_{\delta_{r}}})_{fin}\frac{l_{f}}{b}
= -\frac{S_{f}}{S}a_{f}\tau\frac{l_{f}}{b} \\
\end{eqnarray}

おわりに

上反角\(\Gamma\)が大きい機体における横・方向の安定微係数を導出した

		主翼の寄与		垂直の寄与
\(C_{y_{\beta}}\)	=	\(-\frac{2}{S} \int_{0}^{b/2} a_{1} \sin{\Gamma}^2 c \mathrm{dy}\)	+	\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\)
\(C_{y_{p}}\)	=	\(-\frac{4}{S_{w}b_{w}} \int_{0}^{b/2} a_{1} y\sin{\Gamma}\cos{\Gamma} c \mathrm{dy}\)	+	\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}\)
\(C_{y_{r}}\)	=	\(\frac{8}{S_{w}b_{w}} \int_{0}^{b/2} C_{L} y\sin{\Gamma} c\mathrm{dy}\)	+	\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}\)
\(C_{y_{\delta_{r}}}\)	=	\(\)	+	\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\tau\)
\(C_{l_{\beta}}\)	=	\(-\frac{2}{S_{w}b_{w}} \int_{0}^{b/2} a_{1} \sin{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy}\)	+	\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{l_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{l_{p}}\)	=	\(-\frac{4}{S_{w}b_{w}^{2}} \int_{0}^{b/2} a_{1} y \cos{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy}\)	+	\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}\frac{z_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{l_{r}}\)	=	\(\frac{8}{S_{w}b_{w}^{2}} \int_{0}^{b/2} C_{L} y \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy}\)	+	\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}\frac{z_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{l_{\delta_{r}}}\)	=	\(\)	+	\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\tau\frac{z_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{n_{\beta}}\)	=	\(-\frac{2}{S_{w}b_{w}} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \sin{\Gamma} y c\mathrm{dy}\)	+	\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{l_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{n_{p}}\)	=	\(-\frac{4}{S_{w}b_{w}^{2}} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \cos{\Gamma} y^{2} c\mathrm{dy}\)	+	\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}\frac{l_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{n_{r}}\)	=	\(\frac{8}{S_{w}b_{w}^{2}} \int_{0}^{b/2} (C_{L}\sin{\alpha}-C_{D}\cos{\alpha}) y^{2} c\mathrm{dy}\)	+	\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}\frac{l_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{n_{\delta_{r}}}\)	=	\(\)	+	\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\tau\frac{l_{f}}{b_{w}}\)

ちなみにQX-20では以下のような値になったので，自分で計算するときは参考にしてほしい

		主翼の寄与		垂直の寄与		合計
\(C_{y_{\beta}}\)	=	-0.002303	+	-0.001268	=	-0.003555	[1/deg]
\(C_{y_{p}}\)	=	-0.454452	+	-0.002691	=	-0.455493	[1/rad]
\(C_{y_{r}}\)	=	0.126752	+	0.017427	=	0.143466	[1/rad]
\(C_{y_{\delta_{r}}}\)	=	0	+	0.000888	=	0.000888	[1/deg]
\(C_{l_{\beta}}\)	=	-0.004041	+	-0.000023	=	-0.004049	[1/deg]
\(C_{l_{p}}\)	=	-0.829663	+	-0.000050	=	-0.829690	[1/rad]
\(C_{l_{r}}\)	=	0.227676	+	0.000323	=	0.227736	[1/rad]
\(C_{l_{\delta_{r}}}\)	=	0	+	0.000016	=	0.000016	[1/deg]
\(C_{n_{\beta}}\)	=	-0.000657	+	0.000152	=	-0.000500	[1/deg]
\(C_{n_{p}}\)	=	-0.133063	+	0.000323	=	-0.132307	[1/rad]
\(C_{n_{r}}\)	=	0.003037	+	-0.002090	=	0.000942	[1/rad]
\(C_{n_{\delta_{r}}}\)	=	0	+	-0.000106	=	-0.000106	[1/deg]

なお，上の説明では角度の単位を[rad]に統一しているが，実際に計算するときは角度，角速度，揚力傾斜の単位はそれぞれ[deg]，[deg/s]，[1/deg]であることに注意すること

「人力飛行機は方向安定が負」というのは教科書に載っていない発見である

この式を用いて物理演算を行っているフライトシミュレーターはこちら

BR Simulator for Glider

鳥人間コンテスト滑空機部門を想定したフライトシミュレーター

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【Unity】フライトシミュレーターを作る：物理演算

Unityを使って鳥人間コンテストの滑空機部門を想定したフライトシミュレーターを作成するための物理演算について説明する

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これらの値を実際に計算する設計シートはこちら

主翼の空力および構造計算

主翼の空力および構造計算を行うプログラムを作成する

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渦格子法を用いた尾翼の空力計算

渦格子法を用いて水平尾翼，および垂直尾翼の空力計算を行う

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