鳥コン滑空機における横・方向の微小擾乱理論

鳥コン滑空機のような大きな上反角を持つ機体に対する横・方向の微小擾乱理論について説明する

この式を用いて物理演算を行っているフライトシミュレーターはこちら

BirdmanRallySim for Glider
【Unity】フライトシミュレーターを作る:物理演算

これらの値を実際に計算する設計シートはこちら

主翼の空力および構造計算
渦格子法を用いた尾翼の空力計算

はじめに

航空機の安定性解析では,微小擾乱理論と呼ばれる考え方が使われる

微小擾乱理論については以下の書籍が参考になる

航空機力学入門 | 加藤 寛一郎 |本 | 通販 | Amazon (通称:白本)
航空機の飛行力学と制御 | 片柳 亮二 |本 | 通販 | Amazon (通称:青本)

安定微係数の推算については白本の第4章が,運動方程式の立式や微小擾乱方程式については青本の第1章・第2章・第3章がわかりやすい(わかりやすいとは言ってない)

ただし,白本の横・方向の安定微係数の推算(白本:p.89~)では以下の仮定が行われている

  • 横方向の力\(Y\)については主翼の影響を無視(白本:P.91)
  • 主翼の上反角\(\Gamma\)については小さいとし,スパン方向に一定(白本:p.93)
  • 揚力係数\(C_{L_{0}}\),揚力傾斜\(a_{1}\)はスパン方向に一定(白本:p.93, 98)

これらの仮定を鳥コン滑空機に適用するには無理があるので,より厳密な安定微係数の推算方法を考えてみる

ただし,以下の仮定を採用する

  • 翼の左右のたわみやねじれは等しく,フライトを通して一定である
  • 胴体の影響は無視できる(鳥コン滑空機では主翼に比べて胴体がかなり小さいため)

横・方向の微小擾乱の概要

微小擾乱理論において,横向きにはたらく力\(Y\),ローリングモーメント\(L\),ヨーイングモーメント\(N\)はそれぞれ次のようにあらわされる(青本:p.22~25)

\begin{eqnarray}
Y&=&\frac{1}{2}\rho V^{2}SC_{y}\\
\\
C_{y}&=&C_{y_{\beta}}\beta+C_{y_{p}}\frac{pb}{2V}+C_{y_{r}}\frac{rb}{2V}+C_{y_{\delta_{r}}}\delta_{r}\\
\\
L&=&\frac{1}{2}\rho V^{2}SbC_{l}\\
N&=&\frac{1}{2}\rho V^{2}SbC_{n}\\
\\
C_{l}&=&C_{l_{\beta}}\beta+C_{l_{p}}\frac{pb}{2V}+C_{l_{r}}\frac{rb}{2V}+C_{l_{\delta_{r}}}\delta_{r}\\
C_{n}&=&C_{n_{\beta}}\beta+C_{n_{p}}\frac{pb}{2V}+C_{n_{r}}\frac{rb}{2V}+C_{n_{\delta_{r}}}\delta_{r}\\
\end{eqnarray}

なお,主翼が寄与する安定微係数の推算では,右翼の揚力増加に着目して計算し,それを2倍することによって主翼全体の安定微係数を計算する

\(\beta\)の影響

機体が速度\(V\),横滑り角\(\beta\)で飛行しているとき,横方向の速度\(v\)は次の式であらわされる(青本:p.21)

\begin{eqnarray}
v=V\sin{\beta}
\end{eqnarray}

上反角が\(\Gamma\)のとき,翼の迎角増加\(\Delta\alpha\)および揚力増加\(\Delta L\)は次の式で求まる(白本:p.93)

\begin{eqnarray}
\Delta \alpha &\simeq& \arctan{\frac{v\sin{\Gamma}}{V}}
\simeq \sin{\beta} \sin{\Gamma}
\simeq \beta \sin{\Gamma}\tag{1a} \\
\\
\Delta L &=& \frac{1}{2}\rho V^{2} \mathrm{dS} \Delta C_{L} \\
&=& \frac{1}{2}\rho V^{2} c\mathrm{dy} a_{1} \Delta \alpha \\
&=& \frac{1}{2}\rho V^{2} a_{1} \beta \sin{\Gamma} c \mathrm{dy} \tag{1b} \\
\end{eqnarray}

\(p\)の影響

機体が速度\(V\),ロール角速度\(p\)で飛行しているとき,スパン位置\(y\)における迎角増加\(\Delta \alpha\)は次の式であらわされる(白本:p.95)

\begin{eqnarray}
\Delta \alpha &=& \arctan{\frac{py\cos{\Gamma}}{V}}
\simeq \frac{py}{V}\cos{\Gamma} \tag{2a} \\
\end{eqnarray}

よって,翼素の揚力増加\(\Delta L\)は次の式で求まる

\begin{eqnarray}
\Delta L &=& \frac{1}{2}\rho V^{2} \mathrm{dS} \Delta C_{L} \\
&=& \frac{1}{2}\rho V^{2} c\mathrm{dy} a_{1} \Delta \alpha \\
&=& \frac{1}{2}\rho V^{2} a_{1} \frac{py}{V} \cos{\Gamma} c \mathrm{dy} \tag{2b} \\
\end{eqnarray}

\(r\)の影響

機体が速度\(V\),ヨー角速度\(r\)で飛行しているとき,スパン位置\(y\)における速度増加\(\Delta V\)は次の式であらわされる(白本:p.95)

\begin{eqnarray}
\Delta V = -ry \\
\end{eqnarray}

よって,翼素の揚力増加\(\Delta L\)は次の式で求まる

\begin{eqnarray}
\Delta L &=& \frac{1}{2}\rho (V-ry)^{2} \mathrm{dS} C_{L}-\frac{1}{2}\rho V^{2} \Delta S C_{L} \\
&=& \frac{1}{2}\rho \left\{(V-ry)^{2}-V^{2}\right\} c\mathrm{dy} C_{L} \\
&=& \frac{1}{2}\rho (2V-ry)(-ry) C_{L} c \mathrm{dy}\\
&\simeq& \frac{1}{2}\rho (-2Vry) C_{L} c \mathrm{dy} \tag{3} \\
\end{eqnarray}

\(\Delta \alpha\)の影響

迎角\(\alpha\)で飛行しているとき,x軸方向とz軸方向にはたらく力は次の式であらわされる(青本:p.23)

\begin{eqnarray}
X&=&\frac{1}{2}\rho V^{2} S C_{x}\\
Z&=&\frac{1}{2}\rho V^{2} S C_{z}\\
\\
C_{x}&=&C_{L}\sin{\alpha}-C_{D}\cos{\alpha}\\
C_{z}&=&-C_{L}\cos{\alpha}-C_{D}\sin{\alpha}\simeq-C_{L}\\
\end{eqnarray}

ここで,迎角が変化したときのx方向の力の増加\(\Delta X\)は次の式であらわされる

\begin{eqnarray}
\Delta C_{x}&=&\frac{\partial C_{x}}{\partial \alpha}\Delta \alpha\\
&=& \left(C_{L_{\alpha}}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}-C_{D_{\alpha}}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right)\Delta \alpha \\
&\simeq& \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right)\Delta \alpha \\
\\
\Delta X &=& \frac{1}{2}\rho V^{2} \mathrm{dS}\Delta C_{x}\\
&=& \frac{1}{2}\rho V^{2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right)\Delta \alpha c\mathrm{dy} \tag{4} \\
\end{eqnarray}

ただし,迎角の小さい範囲では\(C_{D}= const.\)(\(C_{D_{\alpha}}= 0\))とした

\(\Gamma\)の影響

上反角\(\Gamma\)は,横滑り角\(\beta\)によって迎角を増加させるだけではなく,揚力をyz平面内に傾けるはたらきがある

上反角\(\Gamma\)を持つ翼素に揚力\(L\)がはたらいているとき,y方向,z方向の力はそれぞれ次のように求まる

\begin{eqnarray}
Y&=&-L\sin{\Gamma} \tag{5}\\
Z&=&-L\cos{\Gamma} \tag{6}\\
\end{eqnarray}

\(C_{y_{\beta}}\)

\(C_{y_{\beta}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{y_{\beta}} = (C_{y_{\beta}})_{wing}+(C_{y_{\beta}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\(C_{y_{\beta_{w}}}\)は式(1b),(5)より次のように求まる

\begin{eqnarray}
(Y)_{wing} &=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \sin{\Gamma}\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2}a_{1} \beta \sin{\Gamma}^2 c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{y})_{wing} &=& -\frac{2}{S} \int_{0}^{b/2} a_{1} \sin{\Gamma}^2 \beta c \mathrm{dy} \\
\\
(C_{y_{\beta}})_{wing} &=& -\frac{2}{S} \int_{0}^{b/2} a_{1} \sin{\Gamma}^2 c \mathrm{dy}\\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{y_{\beta}})_{fin}\)は次の式であらわされる(白本:p.91)

\begin{eqnarray}
(C_{y_{\beta}})_{f}
=-\frac{S_{f}}{S}a_{f}\left(1-\frac{\partial\sigma}{\partial\beta}\right)
\simeq-\frac{S_{f}}{S}a_{f}
\end{eqnarray}

\(C_{y_{p}}\)

\(C_{y_{p}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{y_{p}} = (C_{y_{p}})_{wing}+(C_{y_{p}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{y_{p}})_{wing}\)は式(2b),(5)より次のように求まる

\begin{eqnarray}
(Y)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \sin{\Gamma}\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2} a_{1} \frac{py}{V} \sin{\Gamma}\cos{\Gamma}c \mathrm{dy} \\
\\
(C_{y})_{wing} &=& -\frac{2}{S} \int_{0}^{b/2} a_{1} \frac{py}{V} \sin{\Gamma}\cos{\Gamma} c\mathrm{dy} \\
&=& -\frac{4}{Sb} \int_{0}^{b/2} a_{1} \frac{pb}{2V} y\sin{\Gamma}\cos{\Gamma} c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{y_{p}})_{wing} &=& -\frac{4}{Sb} \int_{0}^{b/2} a_{1} y\sin{\Gamma}\cos{\Gamma} c \mathrm{dy}\\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{y_{p}})_{fin}\)は次の式であらわされる(白本:p.99)

\begin{eqnarray}
(C_{y_{p}})_{fin}
=-\frac{S_{f}}{S}a_{f}\left(\frac{2z_{fp}}{b}-\frac{\partial\sigma}{\partial {\hat p}}\right)
\simeq -\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{y_{r}}\)

\(C_{y_{r}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{y_{r}} = (C_{y_{r}})_{wing}+(C_{y_{r}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{y_{r}})_{wing}\)は式(3),(5)より次のように求まる

\begin{eqnarray}
(Y)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \sin{\Gamma}\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho (-2Vry) C_{L}\sin{\Gamma} c\mathrm{dy}\\
\\
(C_{y})_{wing} &=& \frac{4}{S} \int_{0}^{b/2} C_{L} \frac{ry}{V} \sin{\Gamma} c\mathrm{dy} \\
&=& \frac{8}{Sb} \int_{0}^{b/2} C_{L} \frac{rb}{2V} y\sin{\Gamma} c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{y_{r}})_{wing} &=& \frac{8}{Sb} \int_{0}^{b/2} C_{L} y\sin{\Gamma} c\mathrm{dy}\\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{y_{r}})_{fin}\)は次の式であらわされる(白本:p.102)

\begin{eqnarray}
(C_{y_{r}})_{fin}=\frac{S_{f}}{S}a_{f}\left(\frac{2l_{f}}{b}+\frac{\partial \sigma}{\partial {\hat r}}\right)
\simeq \frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{y_{\delta_{r}}}\)

\(C_{y_{\delta_{r}}}\)は垂直尾翼の寄与のみであり,以下の式で求められる(白本:p.91)

\begin{eqnarray}
C_{y_{\delta_{r}}} = \frac{S_{f}}{S}a_{f}\tau
\end{eqnarray}

\(C_{l_{\beta}}\)

\(C_{l_{\beta}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{l_{\beta}} = (C_{l_{\beta}})_{wing}+(C_{l_{\beta}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{l_{\beta}})_{wing}\)は式(1b),(5),(6)より次のように求まる(白本p.92~95)

\begin{eqnarray}
(L)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \left(\Delta L \cos{\Gamma}\times y + \Delta L \sin{\Gamma}\times z\right)\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2} a_{1} \beta \sin{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)c \mathrm{dy} \\
\\
(C_{l})_{wing} &=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} a_{1} \beta \sin{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)c \mathrm{dy} \\
\\
(C_{l_{\beta}})_{wing} &=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} a_{1} \sin{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy}\\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{l_{\beta}})_{fin}\)は次の式であらわされる

\begin{eqnarray}
(C_{l_{\beta}})_{fin}=(C_{y_{\beta}})_{fin}\frac{z_{f}}{b}
=-\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{l_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{l_{p}}\)

\(C_{l_{p}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{l_{p}} = (C_{l_{p}})_{wing}+(C_{l_{p}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\(C_{l_{p}}\)は,式(2b),(5),(6)より次のように求まる(白本:p.95)

\begin{eqnarray}
(L)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2} a_{1} \frac{py}{V} \cos{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{l})_{wing}
&=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} a_{1} \frac{py}{V} \cos{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
&=& -\frac{4}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} a_{1} \frac{pb}{2V}y \cos{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{l_{p}})_{wing} &=& -\frac{4}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} a_{1} y \cos{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{l_{p}})_{fin}\)は次の式であらわされる

\begin{eqnarray}
(C_{l_{p}})_{fin}=(C_{y_{p}})_{fin}\frac{z_{f}}{b}
=-\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}\frac{z_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{l_{r}}\)

\(C_{l_{r}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{l_{r}} = (C_{l_{r}})_{wing}+(C_{l_{r}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\(C_{l_{r_{w}}}\)は式(3),(5),(6)より次のように求まる(白本:p.99)

\begin{eqnarray}
(L)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta L \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho (-2Vry) C_{L} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right)c \mathrm{dy} \\
\\
(C_{l})_{wing}
&=& \frac{4}{Sb} \int_{0}^{b/2} C_{L} \frac{ry}{V} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
&=& \frac{8}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} C_{L}\frac{rb}{2V} y \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{l_{r}})_{wing} &=& \frac{8}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} C_{L} y \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy} \\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{l_{r}})_{fin}\)は次の式であらわされる(白本:p.101)

\begin{eqnarray}
(C_{l_{r}})_{fin}=(C_{y_{r}})_{fin}\frac{z_{f}}{b}
=\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}\frac{z_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{l_{\delta_{r}}}\)

\(C_{l_{\delta_{r}}}\)は垂直尾翼の寄与のみであり,以下の式で求められる

\begin{eqnarray}
C_{l_{\delta_{r}}} = C_{y_{\delta_{r}}}\frac{z_{f}}{b}
= \frac{S_{f}}{S}a_{f}\tau\frac{z_{f}}{b} \\
\end{eqnarray}

\(C_{n_{\beta}}\)

\(C_{n_{\beta}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{n_{\beta}} = (C_{n_{\beta}})_{wing}+(C_{n_{\beta}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{n_{\beta}})_{wing}\)は式(1a),(4)より次のように求まる

\begin{eqnarray}
(N)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta X \times y\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \beta \sin{\Gamma} yc \mathrm{dy} \\
\\
(C_{n})_{wing} &=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \beta \sin{\Gamma} y c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{n_{\beta}})_{wing} &=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \sin{\Gamma} y c\mathrm{dy}\\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{n_{\beta}})_{fin}\)は次の式であらわされる(白本:p.91)

\begin{eqnarray}
(C_{n_{\beta}})_{fin}=-(C_{y_{\beta}})_{fin}\frac{l_{f}}{b}=\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{l_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{n_{p}}\)

\(C_{n_{p}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{n_{p}} = (C_{n_{p}})_{wing}+(C_{n_{p}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{n_{p}})_{wing}\)は式(2a),(4)より次のように求まる

\begin{eqnarray}
(N)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta X \times y\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho V^{2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \frac{py}{V}\cos{\Gamma} yc \mathrm{dy} \\
\\
(C_{n})_{wing}
&=& -\frac{2}{Sb} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \frac{py}{V}\cos{\Gamma} y c\mathrm{dy} \\
&=& -\frac{4}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \frac{pb}{2V}\cos{\Gamma} y^{2} c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{n_{p}})_{wing} &=& -\frac{4}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \cos{\Gamma} y^{2} c\mathrm{dy} \\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{n_{p}})_{fin}\)は次の式であらわされる(白本:p.91)

\begin{eqnarray}
(C_{n_{p}})_{fin}=-(C_{y_{p}})_{fin}\frac{l_{f}}{b}
=\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}\frac{l_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{n_{r}}\)

\(C_{n_{r}}\)は主翼と垂直尾翼の寄与に分けられる

\begin{eqnarray}
C_{n_{r}} = (C_{n_{r}})_{wing}+(C_{n_{r}})_{fin}\\
\end{eqnarray}

主翼の寄与\((C_{n_{r}})_{wing}\)は式(3)の\(C_{L}\)を\(C_{x}\)とすると次のように求まる(白本:p.101)

\begin{eqnarray}
(N)_{wing}
&=& -2\int_{0}^{b/2} \Delta X \times y\\
&=& -2\int_{0}^{b/2} \frac{1}{2}\rho (-2Vry) C_{x} y c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{n})_{wing}
&=& \frac{4}{Sb} C_{x} \frac{ry}{V} y c\mathrm{dy} \\
&=& \frac{8}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} (C_{L}\sin{\alpha}-C_{D}\cos{\alpha}) \frac{rb}{2V} y^{2} c\mathrm{dy} \\
\\
(C_{n_{r}})_{wing} &=& \frac{8}{Sb^{2}} \int_{0}^{b/2} (C_{L}\sin{\alpha}-C_{D}\cos{\alpha}) y^{2} c\mathrm{dy} \\
\end{eqnarray}

垂直尾翼の寄与\((C_{n_{r}})_{fin}\)は次の式であらわされる(白本:p.101)

\begin{eqnarray}
(C_{n_{r}})_{fin}=(C_{y_{r}})_{fin}\frac{l_{f}}{b}
=-\frac{S_{f}}{S}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}\frac{l_{f}}{b}
\end{eqnarray}

\(C_{n_{\delta_{r}}}\)

\(C_{n_{\delta_{r}}}\)は垂直尾翼の寄与のみであり,以下の式で求められる(白本:p.91)

\begin{eqnarray}
C_{n_{\delta_{r}}} = -(C_{y_{\delta_{r}}})_{fin}\frac{l_{f}}{b}
= -\frac{S_{f}}{S}a_{f}\tau\frac{l_{f}}{b} \\
\end{eqnarray}

おわりに

上反角\(\Gamma\)が大きい機体における横・方向の安定微係数を導出した

主翼の寄与垂直の寄与
\(C_{y_{\beta}}\)=\(-\frac{2}{S} \int_{0}^{b/2} a_{1} \sin{\Gamma}^2 c \mathrm{dy}\)+\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\)
\(C_{y_{p}}\)=\(-\frac{4}{S_{w}b_{w}} \int_{0}^{b/2} a_{1} y\sin{\Gamma}\cos{\Gamma} c \mathrm{dy}\)+\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}\)
\(C_{y_{r}}\)=\(\frac{8}{S_{w}b_{w}} \int_{0}^{b/2} C_{L} y\sin{\Gamma} c\mathrm{dy}\)+\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}\)
\(C_{y_{\delta_{r}}}\)=\(\)+\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\tau\)
\(C_{l_{\beta}}\)=\(-\frac{2}{S_{w}b_{w}} \int_{0}^{b/2} a_{1} \sin{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy}\)+\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{l_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{l_{p}}\)=\(-\frac{4}{S_{w}b_{w}^{2}} \int_{0}^{b/2} a_{1} y \cos{\Gamma} \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy}\)+\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}\frac{z_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{l_{r}}\)=\(\frac{8}{S_{w}b_{w}^{2}} \int_{0}^{b/2} C_{L} y \left( y\cos{\Gamma}+z\sin{\Gamma} \right) c\mathrm{dy}\)+\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}\frac{z_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{l_{\delta_{r}}}\)=\(\)+\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\tau\frac{z_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{n_{\beta}}\)=\(-\frac{2}{S_{w}b_{w}} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \sin{\Gamma} y c\mathrm{dy}\)+\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{l_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{n_{p}}\)=\(-\frac{4}{S_{w}b_{w}^{2}} \int_{0}^{b/2} \left(a_{1}\sin{\alpha}+C_{L}\cos{\alpha}+C_{D}\sin{\alpha}\right) \cos{\Gamma} y^{2} c\mathrm{dy}\)+\(\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2z_{f}}{b}\frac{l_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{n_{r}}\)=\(\frac{8}{S_{w}b_{w}^{2}} \int_{0}^{b/2} (C_{L}\sin{\alpha}-C_{D}\cos{\alpha}) y^{2} c\mathrm{dy}\)+\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\frac{2l_{f}}{b}\frac{l_{f}}{b_{w}}\)
\(C_{n_{\delta_{r}}}\)=\(\)+\(-\frac{S_{f}}{S_{w}}a_{f}\tau\frac{l_{f}}{b_{w}}\)

ちなみにQX-20では以下のような値になったので,自分で計算するときは参考にしてほしい

なお,上の説明では角度の単位を[rad]に統一しているが,実際に計算するときは角度,角速度,揚力傾斜の単位はそれぞれ[deg],[deg/s],[1/deg]であることに注意すること

具体的な実装については以下の記事を参照

主翼の空力および構造計算
渦格子法を用いた尾翼の空力計算
【Unity】フライトシミュレーターを作る:物理演算

主翼の寄与垂直の寄与合計
\(C_{y_{\beta}}\)=-0.002303+-0.001268=-0.003555[1/deg]
\(C_{y_{p}}\)=-0.454452+-0.002691=-0.455493[1/rad]
\(C_{y_{r}}\)=0.126752+0.017427=0.143466[1/rad]
\(C_{y_{\delta_{r}}}\)=0+0.000888=0.000888[1/deg]
\(C_{l_{\beta}}\)=-0.004041+-0.000023=-0.004049[1/deg]
\(C_{l_{p}}\)=-0.829663+-0.000050=-0.829690[1/rad]
\(C_{l_{r}}\)=0.227676+0.000323=0.227736[1/rad]
\(C_{l_{\delta_{r}}}\)=0+0.000016=0.000016[1/deg]
\(C_{n_{\beta}}\)=-0.000657+0.000152=-0.000500[1/deg]
\(C_{n_{p}}\)=-0.133063+0.000323=-0.132307[1/rad]
\(C_{n_{r}}\)=0.003037+-0.002090=0.000942[1/rad]
\(C_{n_{\delta_{r}}}\)=0+-0.000106=-0.000106[1/deg]

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コメント

  1. 白本を参照しながら読んでいたのですが、白本では主翼スパンは全てbで表されているところ、こちらではbとbw二通りで表現されています。これはどちらも主翼スパンとして扱えばよろしいでしょうか?

    • @mtk_birdman @mtk_birdman より:

      コメントいただきありがとうございます!

      bとbwはどちらも主翼スパンで間違いありません.

      誤解を防ぐため,主翼面積はSw->S,主翼スパンはbw->bに統一して更新させていただきました.

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