最大応力説で積層板の強度を計算する

最大応力説を使って積層板の強度を計算してみる

目的とフローチャート
エクセルシートの解説
まとめ

目的とフローチャート

今回の目的は，最大応力説を使って積層板の強度を計算してみることである

以下の資料を参考にする

複合材料の力学序説　古今書院　以下，(序)

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入門複合材料の力学　培風館　以下，(入)

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どちらかというと(入)のほうが破損則については詳しい

前回の記事で作った設計シートに付け加える形で進めていくので，この記事を読む前に目を通しておいてほしい

ここで扱う破損則について，注意すべき点を引用する

問題点1：破壊がすべて応力だけを基準として議論をされている．しかし，何層にも積み上げられた実際の複合材料積層板では，層間の干渉により，必ずしも一方向材の強度だけでは議論ができない（この点については，後でも述べる）
問題点2：実際の複合材料積層板の破壊現象は複雑で，必ずしも面内破壊だけではなく，層間剝離や座屈といった面外の破壊モードも考慮しなくてはいけない
入門複合材料の力学　培風館　p.115

使用する式は以下のとおりである（数式は必ず参考文献を自分で確認すること．誤字脱字注意！）

積層板の合力とひずみの関係式　(序)p.126

\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{c}
N_x \\ N_y \\ N_{xy} \\ M_x \\ M_y \\ M_{xy}
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cccccc}
A_{11} & A_{12} & A_{16} & B_{11} & B_{12} & B_{16} \\
A_{12} & A_{22} & A_{26} & B_{12} & B_{22} & B_{26} \\
A_{16} & A_{26} & A_{66} & B_{16} & B_{26} & B_{66} \\
B_{11} & B_{12} & B_{16} & D_{11} & D_{12} & D_{16} \\
B_{12} & B_{22} & B_{26} & D_{12} & D_{22} & D_{26} \\
B_{16} & B_{26} & B_{66} & D_{16} & D_{26} & D_{66} \\
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
\varepsilon_x^0 \\
\varepsilon_y^0 \\
\gamma_{xy}^0 \\
\chi_x^0 \\
\chi_y^0 \\
\chi_{xy}^0 \\
\end{array} \right]
\tag{6.9}
\end{eqnarray}

中央面からzだけ離れた任意の位置のラミナのフックの法則　(序)p.125

\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{c}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\tau_{xy}
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{ccc}
\overline{Q_{11}} & \overline{Q_{12}} & \overline{Q_{16}} \\
\overline{Q_{12}}& \overline{Q_{22}}& \overline{Q_{26}} \\
\overline{Q_{16}}& \overline{Q_{26}}& \overline{Q_{66}}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
\varepsilon_x^0+z\chi_x \\
\varepsilon_y^0+z\chi_y \\
\gamma_{xy}^0+z\chi_{xy} \end{array} \right]
\tag{6.5}
\end{eqnarray}

最大応力説の破断の条件式　(C1)

\begin{eqnarray}
F_{L_c}<\sigma_{L}&<&F_{L_t} \\
F_{T_c}<\sigma_{T}&<&F_{T_t} \\
\tau_{LT}&<&F_{LT} \\
\tag{C1}
\end{eqnarray}

積層板の最弱層破壊の手順は以下の通り

①積層板にはたらく合力を求める（入力する）
②式(6.9)で積層板のひずみを求める
③式(6.5)で各層にはたらく応力を求める
④式(C1)で破断するかどうかを調べる

フローチャートを以下に示す

テンプレートファイルのダウンロード

エクセルの数式などの参考になるようにテンプレートファイルを添付しておく

最大応力説

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エクセルシートの解説

それでは実際に解説していく

値の入力

セルD27～D32に積層板にはたらく合力，合モーメントを入力する

ここで合力，合モーメントは(序)p.126で次のように定義される

\begin{eqnarray}
(N_{x},N_{y},N_{xy}) &=& \sum_{k=1}^n \int_{z_{k-1}}^{z_{k}} (\sigma_{x}, \sigma_{y},\tau_{xy})dz
\tag{6.6}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
(M_{x},M_{y},M_{xy}) &=& \sum_{k=1}^n \int_{z_{k-1}}^{z_{k}} (\sigma_{x}z, \sigma_{y}z,\tau_{xy}z)dz
\tag{6.7}
\end{eqnarray}

定義式からはわかりづらいが，要は単位幅あたりにはたらく力，モーメントである

例えば断面が幅\( b \)，厚さ\( t\)の積層板に\( \sigma_{x} \)の応力がはたらくとすると，合力\( N_{x} \)は次のようになる

\begin{eqnarray}
N_{x}=\frac{\sigma_{x}bc}{b}=\sigma_{x}c
\end{eqnarray}

ここではとりあえず\( N_{x}=1'200'000 \) [N/m]を入力しておく

式(6.9)で積層板のひずみを計算する

逆行列の計算にはMINVERSE関数，行列の掛け算にはMMULT関数を使う

セルL11～Q16でセルL3～Q8の逆行列を計算する

セルD21～D26で積層板のひずみを計算する

セルD21～D26を選択してから「F2」キーで「=MMULT(L11:Q16,D27:D32)」と入力し，「Ctrl＋Shift＋Enter」で入力を確定する

式(6.5)で各層にはたらく応力を求める

セルX17～X19～で式(6.5)を計算する

いまいちSUMPRODUCT関数が使いにくいので掛け算と足し算で頑張ろう

中央面からの距離\( z\) は\( z_{k}\)と\( z_{k-1}\)の平均値を使う

式(C1)で破断するかどうか調べる

まず，xy方向の応力をLT方向に変換する

変換式は(序)p.83で次のように与えられる

\begin{eqnarray}
\sigma_{L}&=&\sigma_{x}l^2+\sigma_{y}m^2+2\tau_{xy}lm \\
\sigma_{T}&=&\sigma_{x}m^2+\sigma_{y}l^2-2\tau_{xy}lm \\
\tau_{LT}&=&-\sigma_{x}lm+\sigma_{y}lm+\tau_{xy}(l^2-m^2)
\tag{4.52}
\end{eqnarray}

ただし，\(l=cos{\theta}, m=sin{\theta} \)

セルX20～X22で式(4.52)を計算する