アインシュタインの総和規約について

テンソル解析で用いられるアインシュタインの総和規約について，流体力学の基礎方程式であるNavier-Stokes方程式と連続の式を例に説明する

keywords: テンソル解析，アインシュタインの総和規約，流体解析，ナビエストークス方程式

はじめに
アインシュタインの総和規約とは
ルール説明
Navier-Stokes方程式と連続の式の解説
おわりに

はじめに

非圧縮流体におけるNavier-Stokes方程式および連続の式は，以下の式で表される

\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z}
&=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}
+\nu\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} \\
\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} +w\frac{\partial v}{\partial z}
&=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}
+\nu\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} v}{\partial z^{2}} \\
\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y} +w\frac{\partial w}{\partial z}
&=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}
+\nu\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}
\end{align}

\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0
\end{equation}

だが，論文や参考書を読んでいると，以下のような表記を見かけることがある

\begin{equation}
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+u_{j}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{i}}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\nu\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)\right\} \quad \left(i, j = 1, 2, 3\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}}=0 \quad \left(i = 1, 2, 3\right)
\end{equation}

この表記は，アインシュタインの総和規約を用いた略記法で，もちろん1つ目の式と全く同じ式を表している

本記事では，この2つの方程式を例にしてアインシュタインの総和規約について説明する．

アインシュタインの総和規約とは

以下，Wikipediaより

アインシュタインの縮約記法（アインシュタインのしゅくやくきほう、英: Einstein summation convention）またはアインシュタインの記法（アインシュタインのきほう、英: Einstein notation）、アインシュタインの規約（アインシュタインのきやく、英: Einstein convention）または総和規約^[1]は、添字 (index) の和の記法であり、同じ項で添字が重なる場合はその添字について和を取るというルールである。この重なる指標を擬標（またはダミーの添字、dummy index）、重ならない指標を自由標（またはフリーの添字、free index）と呼ぶ。
一般相対性理論、量子力学、連続体力学、有限要素法などで重宝する。この記法が有用なのは、上下に同じ添字がついているときその添字に対する和（縮約）は座標変換によらないという点である^[2]。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

このあと相変わらずよくわからない説明が続くが，要するにアインシュタインが発明したすっごい便利な方程式の略記法である

ルール説明

アインシュタインの総和規約のルールはいたってシンプルで，①ベクトルや行列の各要素を添え字で表す，②同じ項に同じ添え字が出てきたら，その添え字について総和をとるである

例えば，ベクトル\(\boldsymbol{a}\)とベクトル\(\boldsymbol{b}\)の内積は次のように表される

\begin{align}
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}
=\left[\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array}\right]
=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=a_{i}b_{i} \quad \left(i=1,2,3\right)
\end{align}

ここで，\(a_{i}b_{i}\)における\(i\)がダミーインデックスとよばれるもので，1つの項\(a_{i}b_{i}\)のなかに同じ添え字\(i\)が2回出てきているので，添え字\(i\)についての総和\(\sum_{i=1}^{3}\)をとっている

ちなみにダミーインデックスはどんな文字でもよく，\(a_{i}b_{i}\)でも\(a_{k}b_{k}\)でも\(a_{\xi}b_{\xi}\)でも意味は同じである

もう1つ例を挙げて，\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{W}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\)を考えると，次のようになる

\begin{equation}
y_{i}=W_{ij}x_{j}+b_{i} \quad \left(i, j = 1, 2, 3\right)
\end{equation}

まず\(W_{ij}x_{j}\)の\(j=1, 2, 3\)について総和をとる

\begin{align}
y_{i}&=W_{i1}x_{1}+W_{i2}x_{2}+W_{i3}x_{3}+b_{i} \quad \left(i = 1, 2, 3\right)
\end{align}

\(i=1, 2, 3\)について式を連立する

\begin{align}
y_{1}&=W_{11}x_{1}+W_{12}x_{2}+W_{13}x_{3}+b_{1} \\
y_{2}&=W_{21}x_{1}+W_{22}x_{2}+W_{23}x_{3}+b_{2} \\
y_{3}&=W_{31}x_{1}+W_{32}x_{2}+W_{33}x_{3}+b_{3} \\
\end{align}

最後に，行列形式に整理する

\begin{equation}
\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
W_{11} && W_{12} && W_{13} \\
W_{21} && W_{22} && W_{23} \\
W_{31} && W_{32} && W_{33} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}
+ \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix}
\end{equation}

Navier-Stokes方程式と連続の式の解説

まずは簡単な連続の式について

\begin{equation}
\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}}=0 \quad \left(i = 1, 2, 3\right)
\end{equation}

\( \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}} \)の項に添え字\(i\)が2回出てきているので，\(i=1, 2, 3\)について総和をとる

\begin{equation}
\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}}=0
\end{equation}

次は，Navier-Stokes方程式について

右辺第2項を整理する

\begin{align}
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+u_{j}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}
&=
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{i}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{j}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}
\quad \left(i, j = 1, 2, 3\right)
\end{align}

\( u_{j}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} \)，\( \nu\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} \)，\( \nu\frac{\partial^{2} u_{j}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \)で添え字\(j\)が2回出てきているので，\(j=1, 2, 3\)について総和をとる

\begin{align}
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}
+u_{1}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{1}}
+u_{2}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{2}}
+u_{3}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{3}}
=
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{i}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{1} \partial x_{1}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{2} \partial x_{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{3} \partial x_{3}}
\\ \left(i=1,2,3\right)
\end{align}

ただし，連続の式より

\begin{equation}
\nu\frac{\partial^{2} u_{j}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}
=
\nu\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}} \right)
=0 \quad \left(j=1,2,3\right)
\end{equation}

である

最後に，\(i=1,2,3\)について式を連立すれば，冒頭で紹介したNavier-Stokes方程式が導かれる

\begin{align}
\frac{\partial u_{1}}{\partial t}
+u_{1}\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}
+u_{2}\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}
+u_{3}\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}}
&= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{i}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial x_{1}^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial x_{2}^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial x_{3}^{2}} \\

\frac{\partial u_{2}}{\partial t}
+u_{1}\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}
+u_{2}\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}
+u_{3}\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}}
&=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial x_{1}^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial x_{2}^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial x_{3}^{2}} \\

\frac{\partial u_{3}}{\partial t}
+u_{1}\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}}
+u_{2}\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}}
+u_{3}\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}}
&=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{3}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{3}}{\partial x_{1}^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{3}}{\partial x_{2}^{2}}
+\nu\frac{\partial^{2} u_{3}}{\partial x_{3}^{2}} \\
\end{align}