大学院生のための数値流体力学②：RANS

\(\tau_{ij}=\overline{u_{i}u_{j}}-\overline{u}_{i}\overline{u}_{j}\) に \(u_{i}=\overline{u}_{i}+u'_{i}\) を代入して

\begin{align}
\tau_{ij}
&=\overline{(\overline{u}_{i}+u'_{i}) (\overline{u}_{j}+u'_{j})}
-\overline{(\overline{u}_{i}+u'_{i})}~\overline{ (\overline{u}_{j}+u'_{j})} \\
&=\overline{(\overline{u}_{i}\overline{u}_{j}+\overline{u}_{i}u'_{j}+u'_{i}\overline{u}_{j}+u'_{i}u'_{j})}-( \overline{\overline{u}}_{i}+\overline{u'}_{i})(\overline{\overline{u}}_{j}+\overline{u'}_{j}) \\
&=\overline{\overline{u}_{i}\overline{u}_{j}}
+\overline{u'_{i}\overline{u}_{j}}+\overline{\overline{u}_{i}u'_{j}}
+\overline{u'_{i}u'_{j}}-\overline{\overline{u_{i}}}~\overline{\overline{u_{j}}}\\
&=\overline{u'_{i}u'_{j}}
\end{align}

CFDの説明で「RANSは時間平均したNavier-Stokes方程式を解いて定常計算を行う」とされることがあるが，この説明は厳密には間違っており，RANSでも非定常計算は不可能ではない

このことを理解するために，アンサンブル平均（レイノルズ平均）と時間平均の定義を確認してみる

アンサンブル平均と時間平均

アンサンブル平均とは，N個のサンプルの平均であり，次の式で定義される

\begin{equation}
\overline{u}=\frac{1}{N}\sum_{N} u
\end{equation}

時間平均とは，ある時間Tにおける平均であり，次の式で定義される

\begin{equation}
\overline{u}=\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}u\:dt
\end{equation}

2つの平均は一見違うものに見えるかもしれないが，時間平均は「ある時間Tの中から抜き出した異なるNt個の時刻に対するアンサンブル平均」と言い換えることができる

\begin{equation}
\overline{u}=\frac{1}{N_{t}}\sum_{N_{t}} u(t)
\end{equation}

つまり，時間平均はアンサンブル平均の一種であり，アンサンブル平均はより一般的な平均の概念ということである

RANSにおける定常計算

定常的な乱流は下の図のようになる（縦軸は速度や圧力などの物理量）

時間平均をとると図の点線の定常流になり，レイノルズ分解によって平均値と変動量に分けられる

時間平均よりも一般的な概念であるアンサンブル平均の考え方をするならば，下の図のようになる

サンプル数を十分に大きくすればアンサンブル平均は時間平均の直線に限りなく近づいていくはずなので，定常流ではアンサンブル平均と時間平均は同じものであるということがわかる

RANSにおける非定常計算

非定常的な乱流は下の図のようになる（おおきなsinカーブが流れ場の非定常性で小さな乱れが乱流によるもの）

時間平均の考え方だとこのような非定常流れは計算できないように感じるが，より一般的な概念であるアンサンブル平均を用いると次のように考えることができる

このように，アンサンブル平均を使えば非定常流れでも平均値と変動量を考えることができるため，RANSでも非定常計算が不可能ではないことが理解できる

実際，Re数が低い円柱まわりの流れをRANSで計算すると，円柱の背後に非定常的な渦（カルマン渦）が現れることが確認されている

≫パッと知りたい！　人と差がつく乱流と乱流モデル講座　第13回　13.1 円柱周り流れ解析、13.2 LESの計算結果、13.3 RANSとの比較

非定常RANSの注意点

ただし，非定常RANSを計算するためには流れ場の非定常性と乱れのスケールがしっかりと分離している必要がある

下の図のように，流れ場の非定常性と乱れのスケールが近い場合はアンサンブル平均をとったとしても流れ場の非定常性をうまく把握することができない

ここまで長々と説明してきたが，実際非定常計算をRANSでやることはあまりないと思うので，RANS＝時間平均という理解でもあまり問題はない

ただ，論文や学会発表などで「RANSは時間平均をとって定常計算を行う手法です」と言ってしまうと思わぬところから横やりが来るかもしれないので注意が必要である

レイノルズ応力方程式を省略せずに書くと次の式である

\begin{align}
\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial t}
+\overline{u}_{k}\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}
&=
-\tau_{jk}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{k}}
-\tau_{ik}\frac{\partial \overline{u}_{j}}{\partial x_{k}}
+\overline{\frac{p'}{\rho}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)}
-2\nu\overline{\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}} \\
&\quad+\frac{\partial }{\partial x_{k}}\left\{
-\overline{u'_{i}u'_{j}u'_{k}}
-\frac{1}{\rho}\left(\overline{p'u'_{j}\delta_{ik}}+\overline{p'u'_{i}\delta_{jk}}\right)
+\nu\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}
\right\}
\end{align}

実質微分項

\begin{equation}
\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial t}+\overline{u}_{k}\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}
\end{equation}

第1項\(\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial t}\)が時間項，第2項 \(\overline{u}_{k}\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}\)が移流項であり，左辺全体でレイノルズ応力\(\tau_{ij}\)の実質微分を表している

生成項

\begin{equation}
P_{ij}=-\tau_{ik}\frac{\partial \overline{u}_{j}}{\partial x_{k}}-\tau_{jk}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{k}}
\end{equation}

平均速度勾配による\(\tau_{ij}\)の生成項である

この項をモデル化せずに扱えるのが応力方程式モデルの最大のメリットである

圧力-ひずみ相間項

\begin{equation}
\Pi_{ij}=\overline{\frac{p'}{\rho}\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{i}}\right)}
\end{equation}

レイノルズ応力間の再配分を行う役割を持つ項で，この項のモデル化が応力方程式モデルで最も重要となる

散逸項

\begin{equation}
\varepsilon_{ij}=2\nu\overline{\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}}
\end{equation}

散逸については，\(\varepsilon_{ij}=\frac{2}{3}\delta_{ij}\varepsilon\)として，\(\varepsilon\)の輸送方程式を解くことによって求められる

拡散項

\begin{equation}
J_{ijk}=J_{(T)ijk}+J_{(P)ijk}+J_{(V)ijk}
\end{equation}

\begin{align}
J_{(T)ijk}&=-\overline{u'_{i}u'_{j}u'_{k}} \\
J_{(P)ijk}&=-\frac{1}{\rho}\left(\overline{p'u'_{i}}\delta_{jk}+\overline{p'u'_{j}}\delta_{ik}\right) \\
J_{(V)ijk}&=\nu\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}
\end{align}

\(J_{(T)ijk}\)，\(J_{(P)ijk}\)，\(J_{(V)ijk}\)はそれぞれ速度変動，圧力変動，粘性による拡散流束を表している

レイノルズ応力の輸送方程式は，まず変動速度\(u'_{i}\)についての連続の式とNavier-Stoke方程式を求め，\(\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial t}\)を計算することで求めることができる

連続の式とNavier-Stokes方程式は次の式で表される

(連続の式)

\begin{equation}
\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}=0
\end{equation}

（Navier-Stokes方程式）

\begin{equation}
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}
+\frac{\partial \left(u_{i}u_{j}\right)}{\partial x_{j}}
=
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_{i}}
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\nu\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)-\tau_{ij}\right\}
\end{equation}

これに\(u_{i}=\overline{u}_{i}+u'_{i}\)を代入する

（連続の式）

\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\overline{u}_{k}+u'_{k}\right)=0
\end{equation}

（Navier-Stokes方程式）

\begin{align}
&\frac{\partial}{\partial t}\left(\overline{u}_{i}+u'_{i}\right)
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\overline{u}_{i}\overline{u}_{j}+u'_{i}\overline{u}_{j}+\overline{u}_{i}u'_{j}+u'_{i}u'_{j}\right)
= \\
&-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\overline{p}+p'\right)
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left[\nu\left\{\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\overline{u}_{i}+u'_{i}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{i}} \left(\overline{u}_{j}+u'_{j}\right) \right\}\right]
\tag{i}
\end{align}

また，レイノルズ平均を施した連続の式とNavier-Stokes方程式は次の式になる

（連続の式）

\begin{equation}
\frac{\partial \overline{u}_{k}}{\partial x_{k}}=0
\end{equation}

（Navier-Stokes方程式）

\begin{equation}
\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial t}
+\frac{\partial \left(\overline{u}_{i}\overline{u}_{j}\right)}{\partial x_{j}}
=
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_{i}}
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\nu\left(\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial \overline{u}_{j}}{\partial x_{i}}\right)-\tau_{ij}\right\}
\tag{ii}
\end{equation}

2つの式の差(i)-(ii)をとることによって，変動速度\(u'_{i}\)に対する連続の式とNavier-Stokes方程式が求まる

（連続の式）

\begin{equation}
\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{k}}=0
\end{equation}

（Navier-Stokes方程式）

\begin{align}
\frac{\partial u'_{i}}{\partial t}
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}
\left(u'_{i}\overline{u}_{j}+\overline{u}_{i}u'_{j}+u'_{i}u'_{j}\right)
=
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\nu\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{i}}\right)+\tau_{ij}\right\}
\end{align}

整理して

\begin{align}
&\frac{\partial u'_{i}}{\partial t}
+\frac{\partial \left(u'_{i}\overline{u}_{j}\right)}{\partial x_{j}}
= \\
&-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{-u'_{i}u'_{j}-\overline{u}_{i}u'_{j}+\nu\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{i}}\right)+\tau_{ij}\right\} \\
\tag{iii}
\end{align}

(iii)を用いて，レイノルズ応力\(\tau_{ij}\)の輸送方程式を求めていく

ただし，次のことを常に意識しておく

• 積の微分 \((fg)'=f'g+fg'\)
• アンサンブル平均の性質 \(\overline{\overline{f}g'}=\overline{f}\:\overline{g'}\)，\(\overline{f'\overline{g}}=\overline{f'}\:\overline{g}\)
• 変動速度の連続の式 \(\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}=0\)

\(\tau_{ij}\)の時間微分は次の式で表される

\begin{equation}
\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial t}=\frac{\partial \overline{u'_{i}u'_{j}}}{\partial t}
=\overline{\frac{\partial u'_{i}}{\partial t}u'_{j}+u'_{i}\frac{\partial u'_{j}}{\partial t}} \\
\tag{iv}
\end{equation}

\(\frac{\partial u'_{i}}{\partial t}\)は(iii)において\(j \rightarrow k\)とし，\(\frac{\partial u'_{j}}{\partial t}\)は(iii)において\(i \rightarrow j\)，\(j \rightarrow k\)とすることで次のようになる

\begin{align}
\frac{\partial u'_{i}}{\partial t}
&=
-\frac{\partial u'_{i}\overline{u}_{k}}{\partial x_{k}}
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{i}} \\
&\quad+\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left\{-u'_{i}u'_{k}-\overline{u}_{i}u'_{k}+\nu\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{i}}\right)+\tau_{ik}\right\} \\

\frac{\partial u'_{j}}{\partial t}
&=
-\frac{\partial u'_{j}\overline{u}_{k}}{\partial x_{k}}
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{j}} \\
&\quad+\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left\{-u'_{j}u'_{k}-\overline{u}_{j}u'_{k}+\nu\left(\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{j}}\right)+\tau_{jk}\right\}
\tag{v}
\end{align}

(iv)の最右辺の\(\frac{\partial u'_{i}}{\partial t}u'_{j}+u'_{i}\frac{\partial u'_{j}}{\partial t}\)に(v)を代入する

\begin{align}
&\frac{\partial u'_{i}}{\partial t}u'_{j}+u'_{i}\frac{\partial u'_{j}}{\partial t}\\

&=u'_{j}\left[-\frac{\partial u'_{i}\overline{u}_{k}}{\partial x_{k}}
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}
+\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left\{-u'_{i}u'_{k}-\overline{u}_{i}u'_{k}+\nu\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{i}}\right)+\tau_{ik}\right\}\right] \\

&\quad+u'_{i}\left[-\frac{\partial u'_{j}\overline{u}_{k}}{\partial x_{k}}
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{j}}
+\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left\{-u'_{j}u'_{k}-\overline{u}_{j}u'_{k}+\nu\left(\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{j}}\right)+\tau_{jk}\right\}\right] \\

&=\left(-u'_{j}\frac{\partial u'_{i}\overline{u}_{k}}{\partial x_{k}}-u'_{i}\frac{\partial u'_{j}\overline{u}_{k}}{\partial x_{k}} \right)
+\left(-u'_{j}\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}-u'_{i}\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{j}}\right) \\
&\quad+\left(-u'_{j}\frac{\partial u'_{i}u'_{k}}{\partial x_{k}}-u'_{i}\frac{\partial u'_{j}u'_{k}}{\partial x_{k}}\right)
+\left(-u'_{j}\frac{\partial \overline{u}_{i}u'_{k}}{\partial x_{k}}-u'_{i}\frac{\partial \overline{u}_{j}u'_{k}}{\partial x_{k}}\right) \\
&\quad+\left(u'_{j}\frac{\partial \tau_{ik}}{\partial x_{k}}+u'_{i}\frac{\partial \tau_{jk}}{\partial x_{k}}\right) \\
&\quad+\left(\nu u'_{j}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}+\nu u'_{i}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\right)
+\left(\nu u'_{j}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{i}}+\nu u'_{i}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{j}}\right)
\tag{vi}
\end{align}

(vi)の右辺の各項をそれぞれ計算し，レイノルズ平均を行う

（右辺第1項）

\begin{align}
&-u'_{j}\frac{\partial u'_{i}\overline{u}_{k}}{\partial x_{k}}-u'_{i}\frac{\partial u'_{j}\overline{u}_{k}}{\partial x_{k}} \\
&=-u'_{j}\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\overline{u}_{k}+u'_{i}\frac{\partial \overline{u}_{k}}{\partial x_{k}}\right)-u'_{i}\left(\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\overline{u}_{k}+u'_{j}\frac{\partial \overline{u}_{k}}{\partial x_{k}}\right)
=-\overline{u}_{k}\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}u'_{j}+u'_{i}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\right) \\
&=-\overline{u}_{k}\frac{\partial u'_{i}u'_{j}}{\partial x_{k}} \\
&\longrightarrow \overline{-\overline{u}_{k}\frac{\partial u'_{i}u'_{j}}{\partial x_{k}}}
=-\overline{u}_{k}\frac{\partial \overline{u'_{i}u'_{j}}}{\partial x_{k}}
=-\overline{u}_{k}\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}
\end{align}

（右辺第2項）

\begin{align}
&-u'_{j}\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}-u'_{i}\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{j}} \\
&=-\frac{1}{\rho}\left\{\left(u'_{j}\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}p'\right)-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}p'\right\}
-\frac{1}{\rho}\left\{\left(u'_{i}\frac{\partial p'}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}p'\right)-\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}p'\right\} \\
&=-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial p'u'_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}p'\right)-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial p'u'_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}p'\right) \\
&=-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial p'u'_{j}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial p'u'_{i}}{\partial x_{j}}\right)
+\frac{p'}{\rho}\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right) \\
&=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_{k}}\left(p'u'_{j}\delta_{ik}+p'u'_{i}\delta_{jk}\right)
+\frac{p'}{\rho}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right) \\
&\longrightarrow \overline{-\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_{k}}\left(p'u'_{j}\delta_{ik}+p'u'_{i}\delta_{jk}\right)
+\frac{p'}{\rho}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)} \\
&\qquad=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_{k}}\left(\overline{p'u'_{j}\delta_{ik}}+\overline{p'u'_{i}\delta_{jk}}\right)
+\overline{\frac{p'}{\rho}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)}
\end{align}

ただし，クロネッカーのデルタを使った超絶技巧を用いている

\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x_{k}}\delta_{ik}
=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{\partial}{\partial x_{i}} & (i=k) \\
0 & (i \neq k) \end{array}\right.
\end{equation}

（右辺第3項）

\begin{align}
&-u'_{j}\frac{\partial u'_{i}u'_{k}}{\partial x_{k}}-u'_{i}\frac{\partial u'_{j}u'_{k}}{\partial x_{k}} \\
&=-u'_{j}\frac{\partial u'_{i}u'_{k}}{\partial x_{k}}-u'_{i}\left(\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}u'_{k}+u'_{j}\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{k}}\right)
=-\left(u'_{j}\frac{\partial u'_{i}u'_{k}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}u'_{i}u'_{k}\right)
=-\frac{\partial u'_{i}u'_{j}u'_{k}}{\partial x_{k}} \\
&\longrightarrow -\overline{\frac{\partial u'_{i}u'_{j}u'_{k}}{\partial x_{k}}}
=-\frac{\partial \overline{u'_{i}u'_{j}u'_{k}}}{\partial x_{k}}
\end{align}

（右辺第4項）

\begin{align}
&-u'_{j}\frac{\partial \overline{u}_{i}u'_{k}}{\partial x_{k}}-u'_{i}\frac{\partial \overline{u}_{j}u'_{k}}{\partial x_{k}} \\
&=-u'_{j}\left(\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{k}}u'_{k}+\overline{u}_{i}\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{k}}\right)
-u'_{i}\left(\frac{\partial \overline{u}_{j}}{\partial x_{k}}u'_{k}+\overline{u}_{j}\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{k}}\right)
=-u'_{j}u'_{k}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{k}}
-u'_{i}u'_{k}\frac{\partial \overline{u}_{j}}{\partial x_{k}} \\
&\longrightarrow \overline{-u'_{j}u'_{k}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{k}}
-u'_{i}u'_{k}\frac{\partial \overline{u}_{j}}{\partial x_{k}}}
=-\overline{u'_{j}u'_{k}}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{k}}
-\overline{u'_{i}u'_{k}}\frac{\partial \overline{u}_{j}}{\partial x_{k}}
=-\tau_{jk}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{k}}
-\tau_{ik}\frac{\partial \overline{u}_{j}}{\partial x_{k}}
\end{align}

（右辺第5項）

\begin{align}
&u'_{j}\frac{\partial \tau_{ik}}{\partial x_{k}}+u'_{i}\frac{\partial \tau_{jk}}{\partial x_{k}} \\
&=u'_{j}\frac{\partial \overline{u'_{i}u'_{k}}}{\partial x_{k}}+u'_{i}\frac{\partial \overline{u'_{j}u'_{k}}}{\partial x_{k}} \\
&\longrightarrow \overline{u'_{j}\frac{\partial \overline{u'_{i}u'_{k}}}{\partial x_{k}}+u'_{i}\frac{\partial \overline{u'_{j}u'_{k}}}{\partial x_{k}}}
=\overline{u'}_{j}\frac{\partial \overline{u'_{i}u'_{k}}}{\partial x_{k}}+\overline{u'}_{i}\frac{\partial \overline{u'_{j}u'_{k}}}{\partial x_{k}}
=0
\end{align}

（右辺第6項）

\begin{align}
&\nu u'_{j}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}+\nu u'_{i}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}} \\
&=\nu \left\{\left(\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}+u'_{j}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\right)-\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\right\} \\
&\quad+\nu \left\{\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}+u'_{i}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\right)-\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\right\} \\
&=\nu\left\{\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(u'_{j}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\right)-\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\right\}
+\nu\left\{\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(u'_{i}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\right)-\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\right\} \\
&=\nu\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}u'_{j}+u'_{i}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\right)
-2\nu\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}
=\nu\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\frac{\partial u'_{i}u'_{j}}{\partial x_{k}}\right)
-2\nu\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}} \\
&\longrightarrow \overline{\nu\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\frac{\partial u'_{i}u'_{j}}{\partial x_{k}}\right)
-2\nu\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}}
=\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\nu\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}\right)
-2\nu\overline{\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}}
\end{align}

（右辺第7項）

\begin{align}
\nu u'_{j}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{i}}+\nu u'_{i}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{j}}
=\nu u'_{j}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{k}}+\nu u'_{i}\frac{\partial}{\partial x_{j}}\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{k}}
=0
\end{align}

よって，\(\tau_{ij}\)の時間微分\(\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial t}\)は次のようになる

\begin{align}
\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial t}
&=-\overline{u}_{k}\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_{k}}\left(\overline{p'u'_{j}\delta_{ik}}+\overline{p'u'_{i}\delta_{jk}}\right)
+\overline{\frac{p'}{\rho}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)}
-\frac{\partial \overline{u'_{i}u'_{j}u'_{k}}}{\partial x_{k}} \\
&\quad -\tau_{jk}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{k}}
-\tau_{ik}\frac{\partial \overline{u}_{j}}{\partial x_{k}}
+\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\nu\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}\right)
-2\nu\overline{\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}}
\end{align}

両辺整理すると，レイノルズ応力方程式が得られる

\begin{align}
\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial t}
+\overline{u}_{k}\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}
&=
-\tau_{jk}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{k}}
-\tau_{ik}\frac{\partial \overline{u}_{j}}{\partial x_{k}}
+\overline{\frac{p'}{\rho}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)}
-2\nu\overline{\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}} \\
&\quad+\frac{\partial }{\partial x_{k}}\left\{
-\overline{u'_{i}u'_{j}u'_{k}}
-\frac{1}{\rho}\left(\overline{p'u'_{j}\delta_{ik}}+\overline{p'u'_{i}\delta_{jk}}\right)
+\nu\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_{k}}
\right\}
\end{align}

渦粘性モデルの右辺第1項\(\frac{2}{3}k\delta_{ij}\)は，両辺の縮約をとったときに必要になる項である

\begin{equation}
\tau_{ii}=\frac{2}{3}k\delta_{ii}-\nu\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}}\right)
=\frac{2}{3}3\left(\frac{1}{2}\tau_{ii}\right)-0=\tau_{ii}
\end{equation}

\begin{align}
\left(\delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=3 , \qquad
\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}}=0\right)
\end{align}

もしくは，渦粘性モデルは「レイノルズ応力の非等方成分（偏差テンソル）が渦粘性係数と速度勾配の積に等しいと仮定した」と考えることもできる

\begin{equation}
\tau_{ij}^{a}=\tau_{ij}-\frac{1}{3}\tau_{kk}=\tau_{ij}-\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\tau_{kk}\delta_{ij}\right)=\tau_{ij}-\frac{2}{3}k\delta_{ij}=-\nu\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)
\end{equation}

航空分野では， 翼周りの流れに対して有効なBaldwin-Lomaxモデルという0方程式モデルが広く使用されてきた

Baldwin-Lomaxモデルでは，流れ場の領域を内層（添え字\(_{I}\)）と外層（添え字\(_{O}\)）に分割し，渦粘性係数を次の式で与える

\begin{equation}
\nu_{t}=\left\{\begin{array}{ll}
\nu_{t_{I}} & \left(\nu_{t_{I}}<\nu_{t_{O}}\right) \\
\nu_{t_{O}} & \left(\nu_{t_{I}}>\nu_{t_{O}}\right)
\end{array}\right.
\end{equation}

内層の渦粘性係数\(\nu_{t_{I}}\)は，特性長さ\(l_{I}\)と平均渦度テンソルの大きさ\(\left|\boldsymbol{\overline{\Omega}}\right|\)を用いていて次の式で表される

\begin{equation}
\nu_{t_{I}}=\frac{1}{\sqrt{2}}l_{I}^{2}\left|\boldsymbol{\overline{\Omega}}\right|
\end{equation}

ここで，平均渦度テンソル\(\overline{\mathbf{\Omega}}\)は

\begin{equation}
\overline{\mathbf{\Omega}}=\overline{\Omega}_{ij}
=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right), \qquad
\left|\boldsymbol{\overline{\Omega}}\right|
=\sqrt{\overline{\Omega}_{ij}\overline{\Omega}_{ij}}
\end{equation}

混合長\(l_{I}\)は，壁面からの距離\(d\)，摩擦速度\(u_{\tau}=\sqrt{\nu_{e}|\frac{\partial u}{\partial y}|}\)，壁面での動粘性係数\(\nu_{w}\)を用いて次の式で表される

\begin{equation}
l_{i}=\kappa y\left\{1-\exp{\left(-\frac{y^{+}}{A_{VD}}\right)}\right\}, \qquad
y^{+}=\frac{u_{\tau}d}{\nu_{w}}
\end{equation}

\begin{equation}
\kappa=0.41, \qquad A_{VD}=26
\end{equation}

外層では，

\begin{align}
F
=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{l_{I}}{\kappa}\left|\boldsymbol{\overline{\Omega}}\right|
=\frac{1}{2}y\left(1-\exp{\left\{-\frac{y^{+}}{A_{VD}}\right)}\right\}\left|\boldsymbol{\overline{\Omega}}\right|
\simeq \frac{1}{2}y\left|\boldsymbol{\overline{\Omega}}\right|
\end{align}

を用いて，\(F_{max}\)と\(y_{max}\)を次のように定義する

\begin{equation}
F_{max}=\mathrm{max}(F), \qquad F(y_{max})=F_{max}
\end{equation}

ここから，\(\overline{u}_{Diff}=\overline{u}_{max}-\overline{u}_{min}\)を用いて

\begin{equation}
F_{O_{1}}=y_{max}F_{max}\mathrm{min}\left(1,C_{O_{1}}\left(\frac{\overline{u}_{Diff}}{F_{max}}\right)^{2}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
F_{O_{2}}=\left\{1+C_{O_{21}}\left(C_{O_{22}}\frac{y}{y_max}\right)^{6}\right\}^{-1}
\end{equation}

を導入し，外層の渦粘性係数\(\nu_{t_{O}}\)を次の式で計算する

\begin{equation}
\nu_{t_{O}}=\alpha C_{O_{3}}F_{O_{1}}F_{O_{2}}
\end{equation}

ここで，定数群は以下で与えられる

\begin{align}
\alpha=0.0168, \quad C_{O_{1}}=0.25, \quad C_{O_{21}}=5.5, \quad C_{O_{22}}=0.3, \quad C_{O_{3}}=1.6
\end{align}

翼周りの流れ場は，翼付近の乱れが非常に大きい領域と翼から離れた乱れが非常に小さい領域という性質の大きく異なる2つの領域をもった外部流れである

そのような流れ場に対しては，内層と外層で流れ場を分割してそれぞれの渦粘性係数を設定するというBaldwin-Lomaxモデルの考え方が有効になる

参考
≫宇宙航空研究開発機構研究開発報告 - 航空工学におけるレイノルズ平均乱流モデルの概観と 時間スケールによる物理的意味の考察

基本表現

\(\tilde{\nu}\)の輸送方程式

\begin{equation}
\frac{\partial \tilde{\nu}}{\partial t}
+\overline{u}_{i}\frac{\partial \tilde{\nu}}{\partial x_{i}}
=
C_{p}\tilde{\nu}\tilde{S}
-C_{\varepsilon_{1}}f_{\varepsilon}\left(\frac{\tilde{\nu}}{d}\right)^{2}
+\frac{1}{\sigma}\left\{\frac{\partial}{\partial x_{j}}
\left(\tilde{\nu}+\nu\right)\frac{\partial \tilde{\nu}}{\partial x_{j}}
+C_{D}\frac{\partial \tilde{\nu}}{\partial x_{j}}\frac{\partial \tilde{\nu}}{\partial x_{j}}\right\}
\end{equation}

において，\(d\)は壁面からの距離であり，\(\tilde{S}\)および\(f_{\varepsilon}\)は次の式で与えられる

\begin{equation}
\tilde{S}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\overline{\mathbf{\Omega}}\right|
+\frac{\nu}{\left(\kappa d\right)^{2}}f_{p}, \qquad

f_{\varepsilon}=g\left(\frac{1+C_{\varepsilon_{2}}^{6}}{g^{6}+C_{\varepsilon_{2}}^{6}}\right)^{1/6}
\end{equation}

ここで

\begin{equation}
f_{p}=\frac{\left(\tilde{\nu}/ u\right)^{3}-C_{V}^{3}\left(\tilde{\nu}/ \nu\right)+C_{V}^{3}}{\left(\tilde{\nu}/ \nu\right)^{4}+\left(\tilde{\nu}/ \nu\right)^{3}+C_{V}^{3}}
\end{equation}

\begin{equation}
g=r+C_{\varepsilon_{3}}\left(r^{6}-r\right), \qquad
r=\frac{\tilde{\nu}}{\tilde{S}\left(\kappa d\right)^{2}}
\end{equation}

モデル定数は次の通り

\begin{align}
&\sigma=2/3, \quad
C_{V}=7.1, \quad
\kappa=0.41, \quad
C_{p}=0.13, \quad
C_{D}=0.62, \quad \\
&C_{\varepsilon_{1}}=\frac{C_{p}}{\kappa^{2}}+\frac{1+C_{D}}{\sigma}, \quad
C_{\varepsilon_{2}}=2, \quad
C_{\varepsilon_{3}}=0.3, \quad
\end{align}

曲率および回転に対する補正

翼周りの流れのように主流が曲面に沿うような流れでは，主流方向で乱れの特性が変化し，モデルの精度が大きく低下してしまう

また，系全体が回転するような流れ場で発生するコリオリ力もモデルの精度に悪影響を与える

その補正として，\(\tilde{\nu}\)の輸送方程式の生成項を次のように変更する

\begin{equation}
C_{p}\rightarrow C_{p}F_{CR}
\end{equation}

補正関数\(F_{CR}\)は次の式で定義される

\begin{equation}
F_{CR}=
\left(1+C_{CR_{1}}\right)
\frac{C_{CR_{0}}\tilde{r}_{1}}{1+\tilde{r}_{1}}
\left\{1-C_{CR_{3}}\arctan{\left(C_{CR_{2}}\tilde{r}_{2}\right)}\right\}
-C_{CR_{1}}
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{r}_{1}=\frac{\left|\overline{\mathbf{S}}\right|}{\left|\overline{\mathbf{\Omega}}\right|}
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{r}_{2}=\frac{1}{4}\frac{\overline{\Omega}_{ik}\overline{S}_{kj}}{D^{4}}
\left(\frac{\partial \overline{S}_{ij}}{\partial t}+\overline{u}_{j}\frac{\partial \overline{S}_{ij}}{\partial x_{j}}+\varepsilon_{imn}\omega_{F_{m}}\overline{S_{jn}}+\varepsilon_{jmn}\omega_{F_{m}}\overline{S}_{in}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
D=\frac{1}{2}\sqrt{\overline{S}_{ij}\overline{S}_{ij}+\overline{\tilde{\Omega}}_{ij}\overline{\tilde{\Omega}}_{ij}}
\end{equation}

ここで，\(\omega_{F}\)は系の回転角速度であり，この系の渦度テンソル\(\Omega_{ij}\)は次のように変換される

\begin{equation}
\Omega_{ij}\rightarrow \tilde{\Omega}_{ij}=\Omega_{ij}+2\varepsilon_{ikj}\omega_{F_{k}}
\end{equation}

定数は次の通り

\begin{equation}
C_{CR_{0}}=2, \quad
C_{CR_{1}}=1.0, \quad
C_{CR_{2}}=12, \quad
C_{CR_{3}}=1
\end{equation}

レイノルズ応力の非線形性に対する補正

レイノルズ応力を渦粘性係数と速度勾配で線形近似する線形渦粘性モデルでは，矩形ダクト内の第二次第二種流れに代表されるような「主流に垂直な断面内に発生する速度成分が重要な流れ場」を適切に記述できない

【OpenFOAM v2006】正方形断面ダクトの二次流れの計算

OpenFOAM v2006で正方形断面ダクトに発生するプラントルの第二種二次流れの計算を行う

mtkbirdman.com

2020.09.04

航空機の解析では翼と胴体の結合部付近でこのような流れが生じるため，Spalart-Allmarasモデルではそれに対する補正も行っている

レイノルズ応力の線形渦粘性近似からのずれ\(N_{ij}\)は次の式で計算される

\begin{equation}
N_{ij}=\nu_{t}C_{S_{\omega}}\frac{\overline{S}_{ik}\overline{\Omega}_{kj}+\overline{\Omega}_{ik}\overline{S}_{kj}}{\sqrt{\overline{S}_{mn}\overline{S}_{mn}+\overline{\Omega}_{mn}\overline{\Omega}_{mn}}}, \qquad
C_{S_{\omega}}=0.6
\end{equation}

この\(N_{ij}\)を用いて，レイノルズ応力は次のように補正される

\begin{equation}
\tau_{ij}=\frac{2}{3}k\delta_{ij}-2\nu S_{ij}+N_{ij}
\end{equation}

非線形渦粘性モデルについてはこの記事の下で詳しく説明している

参考
≫宇宙航空研究開発機構研究開発報告 - 航空工学におけるレイノルズ平均乱流モデルの概観と 時間スケールによる物理的意味の考察

\(k\)の輸送方程式は，レイノルズ応力方程式の縮約をとって，両辺を1/2倍することによって導出することができる

（縮約をとって1/2倍したレイノルズ応力方程式）

\begin{equation}
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \tau_{ii}}{\partial t} +\overline{u}_{k}\frac{\partial \tau_{ii}}{\partial x_{k}}\right)
=\frac{1}{2}\left\{P_{ii}+\Pi_{ii}-\varepsilon_{ii}+\frac{\partial}{\partial x_{k}} \left(J_{(T)iik}+J_{(P)iik}+J_{(V)iik}\right)\right\}
\end{equation}

上記の計算を行うと，\(k\)の輸送方程式は以下のようになる

\begin{align}
\frac{\partial k}{\partial t}
+\overline{u}_{j}\frac{\partial k}{\partial x_{j}}
=P_{k}
-\varepsilon
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(J_{(T_{k})j}+J_{(P_{k})j}+J_{(V_{k})j}\right)
\end{align}

ここで，各項は次のように計算される

（生成項）

\begin{equation}
P_{k}=\frac{1}{2}P_{ii}=\frac{1}{2}\left(-\tau_{ij}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{k}}-\tau_{ij}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{j}}\right)
=-\overline{u'_{i}u'_{j}}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{j}}
\end{equation}

レイノルズ応力と平均速度勾配によって乱れが生成されることを表している

(圧力-ひずみ相間項)

\begin{equation}
\Pi_{k}=\frac{1}{2}\Pi_{ij}=\frac{1}{2}\overline{\frac{p'}{\rho}\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{i}}\right)}=0
\end{equation}

変動速度の連続の式より0となる

（散逸項）

\begin{equation}
\varepsilon=\frac{1}{2}\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(2\nu\overline{\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}\right)
\end{equation}

（拡散項）

\begin{equation}
J_{(k)j}=J_{(T_{k})j}+J_{(P_{k})j}+J_{(V_{k})j}
\end{equation}

\begin{align}
J_{(T_{k})j}&=\frac{1}{2}J_{(T)iij}=-\frac{1}{2}\overline{u'_{i}u'_{i}u'_{j}} \\
J_{(P_{k})j}&=\frac{1}{2}J_{(P)iij}=-\frac{1}{2}\frac{1}{\rho}\left(\overline{p'u'_{i}}\delta_{ij}+\overline{p'u'_{i}}\delta_{ij}\right)
=-\frac{1}{\rho}\overline{p'u'_{i}}\delta_{ij} \\
J_{(V_{k})j}&=\frac{1}{2}J_{(V)iij}=\nu\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{1}{2}\tau_{ii}\right)=\nu\frac{\partial k}{\partial x_{j}}
\end{align}

\(J_{(T_{k})j}\)，\(J_{(P_{k})j}\)，\(J_{(V_{k})j}\)はそれぞれ速度変動，圧力変動，粘性による拡散流束を表している

モデル化

\(J_{(T_{k})j}\)と\(J_{(P_{k})j}\)についてはモデル化が必要であり，一般に次のような勾配拡散近似が行われる

\begin{equation}
J_{(T_{k})j}+J_{(P_{k})j}=\frac{\nu_{t}}{\sigma_{k}}\frac{\partial k}{\partial x_{j}}
\end{equation}

これにより，モデル化した輸送方程式が得られる

\begin{equation}
\frac{\partial k}{\partial t}+\overline{u}_{j}\frac{\partial k}{\partial x_{j}}
=-\overline{u'_{i}u'_{j}}\frac{\partial \overline{u}_{i}}{\partial x_{j}}
-\varepsilon
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\left(\nu+\frac{\nu_{t}}{\sigma_{k}}\right)\frac{\partial k}{\partial x_{j}}\right\}
\end{equation}

\(\varepsilon\)の輸送方程式は，\(\varepsilon\)の時間微分に\(x_{j}\)で偏微分した変動速度についてのNavier-Stokes方程式を代入することで計算できる

（\(\varepsilon\)の時間微分）

\begin{align}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial t}
=\frac{\partial}{\partial t}\left(\nu\overline{\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}\right)
=\overline{2\nu\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}\right)}
=\overline{2\nu\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial t}\right)}
\end{align}

（\(x_{j}\)で偏微分した変動速度についてのNavier-Stokes方程式）

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial t}\right)
&=\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left[
-\frac{\partial u'_{i}\overline{u}_{k}}{\partial x_{k}}
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x_{i}} \right. \\
&\left. \quad+\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left\{-u'_{i}u'_{k}-\overline{u}_{i}u'_{k}+\nu\left(\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{i}}\right)+\tau_{ik}\right\} \right]
\end{align}

上記の計算を行うと\(\varepsilon\)の輸送方程式は以下のようになる（さすがに面倒なので導出は省略する）

\begin{align}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial t}
+\overline{u}_{j}\frac{\partial \varepsilon}{\partial x_{j}}
=P_{\varepsilon}-\Phi_{\varepsilon}
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(J_{(\varepsilon)j}+J_{(P_{\varepsilon})j}+J_{(V_{\varepsilon})j}\right)
\end{align}

各項の物理的意味は明瞭ではないものの，DNSによってその挙動は明らかになってきている

（生成項）

\begin{equation}
P_{\varepsilon}
=-2\nu\left(
\overline{\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}}+
\overline{\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{i}}\frac{\partial u'_{k}}{\partial x_{j}}}
\right)\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{i}}
-2\nu\overline{u'_{i}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}}\frac{\partial^{2} u'_{j}}{\partial x_{i} \partial x_{k}}
-2\nu\overline{\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{i}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{k}}}
\end{equation}

第1項は平均速度勾配による生成だと解釈され，第2項の意味は明確ではなく，第3項は渦の伸張による生成だと考えられている

（消滅項）

\begin{equation}
\Phi_{\varepsilon}=2\nu^{2}\overline{\frac{\partial^{2} u'_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}\frac{\partial^{2} u'_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}}
\end{equation}

\(k\)の輸送方程式における\(\varepsilon\)の類推から，\(\varepsilon\)の消滅を表すと考えられている

（拡散項）

\begin{align}
J_{(T_{\varepsilon})j}
&=-\nu\overline{\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\partial u'_{i}}{\partial x_{k}}u'_{j}} \\
J_{(P_{\varepsilon})j}
&=-\frac{\nu}{\rho}\overline{\frac{\partial u'_{j}}{\partial x_{i}}\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}} \\
J_{(V_{\varepsilon})j}
&=\nu\frac{\partial \varepsilon}{\partial x_{j}}
\end{align}

\(J_{(T_{\varepsilon})j}\)，\(J_{(P_{\varepsilon})j}\)，\(J_{(V_{\varepsilon})j}\)はそれぞれ速度変動，圧力変動，粘性による拡散流束を表している

モデル化

生成項と消滅項はまとめて次のようにモデル化される

\begin{equation}
P_{\varepsilon}-\Phi_{\varepsilon}=\left(C_{\varepsilon_{1}}P_{k}-C_{\varepsilon_{2}}\varepsilon\right)\frac{\varepsilon}{k}
\end{equation}

\(J_{(T_{\varepsilon})j}\)と\(J_{(P_{\varepsilon})j}\)については，\(k\)と同様に勾配拡散近似が行われる

\begin{equation}
J_{(T_{\varepsilon})j}+J_{(P_{\varepsilon})j}=\frac{\nu_{t}}{\sigma_{\varepsilon}}\frac{\partial k}{\partial x_{j}}
\end{equation}

これにより，モデル化した輸送方程式が得られる

\begin{equation}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial t}+\overline{u}_{j}\frac{\partial \varepsilon}{\partial x_{j}}
=\left(C_{\varepsilon_{1}}P_{k}-C_{\varepsilon_{2}}\varepsilon\right)\frac{\varepsilon}{k}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\left(\frac{\nu_{t}}{\sigma_{\varepsilon}}+\nu\right)\frac{\partial \varepsilon}{\partial x_{j}}\right\}
\end{equation}

標準k-εモデルの定数について，1つずつ説明していく

定常2次元せん断流

平行平板間乱流などのように，平均速度勾配テンソルの\(\frac{\partial \overline{u}}{\partial y}\)以外の成分がすべて0である流れ場のことである

壁面近くの平均速度分布は次のようになる

定常2次元せん断流では，せん断応力\(\tau\)は次の式で表される

\begin{equation}
\tau=\left(\mu+\mu_{t}\right)\frac{\partial u}{\partial y}
\end{equation}

壁面上では \(\nu_{t}=\mu_{t}/\rho=0\)なので，壁面せん断応力\(\tau_{w}\)は次のようになる

\begin{equation}
\tau_{w}=\mu\frac{\partial u}{\partial y}
\end{equation}

壁面せん断応力から摩擦速度\(u_{\tau}\)が定義され，主流速度\(\overline{u}\)および壁面からの距離\(y\)はそれぞれ次のように無次元化される

\begin{equation}
u_{\tau}=\sqrt{\frac{\tau_{w}}{\rho}}=\sqrt{\nu\frac{\partial u}{\partial y}}
\end{equation}

\begin{equation}
u^{+}=\frac{\overline{u}}{u_{\tau}}, \qquad y^{+}=\frac{u_{\tau}y}{\nu}
\end{equation}

乱流境界層の速度分布

一般に，乱流境界層は壁面近くで壁からの影響を受ける内層と自由流近くの外層に分けられ，さらに内層は壁面ごく近くの分子粘性の影響が大きい領域である粘性低層，渦粘性の影響が大きい対数領域，それらの中間にある緩和層に分けられる

縦軸に無次元速度\(u^{+}\)，横軸に無次元距離\(y^{+}\)の対数をプロットした片対数グラフは次のようになる

（粘性低層）

\(0 \leq y^{+} \leq 5\) であり，壁面の極近傍の領域である

壁面近くで乱れが減衰し，分子粘性が支配的になる（\(\nu \gg \nu_{t}\)）

粘性低層では次のような層流の速度分布になる

\begin{equation}
u^{+}=y^{+}
\end{equation}

（緩和層）

\(5 \leq y^{+} \leq 30\) であり，粘性低層と対数領域の中間にある領域である

（対数領域）

\(30 \leq y^{+} \leq \delta_{t}^{+}\) であり，内層の一番外側にある領域である（\(\delta_{t}^{+}\)はレイノルズ数とともに大きくなる）

対数領域ではレイノルズ数が十分大きく分子粘性が無視できる（\(\nu \ll \nu_{t}\)）ほか，乱れの生成と散逸の局所平衡が成立する

\begin{equation}
P_{k}=\varepsilon \qquad \left(P_{k}=-\overline{uv}\frac{\partial u}{\partial y}\right)
\end{equation}

速度分布は次のような対数速度分布になる

\begin{equation}
u^{+}=\frac{1}{\kappa}\ln{y^{+}}+B
\end{equation}

定数\(\kappa\)はカルマン定数とよばれ，乱流境界層では実験的に\(\kappa \simeq 0.4\)，\(B \simeq 5\)とされている

また，対数領域では実験的に次の関係式が成り立つことがわかっている

\begin{equation}
\frac{|\overline{uv}|}{k}=0.3 \quad (=\sqrt{C_{\mu}})
\end{equation}

一様等方乱流

乱れの移流，生成，拡散がなく，ただ減衰していくだけの乱流を考えると，乱流エネルギー\(k\)および乱流散逸率\(\varepsilon\)の輸送方程式はそれぞれ次のようになる

\begin{equation}
\frac{\partial k}{\partial t}=-\varepsilon
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial t}=-C_{\varepsilon_{2}}\varepsilon\frac{\varepsilon}{k}
\end{equation}

また，このような乱流の減衰初期には実験的に次の関係が確認されている

\begin{equation}
k \propto t^{-1}
\end{equation}

定数の決定

以上の仮定を用いて，標準k-εモデルの定数を決定していく

\(C_{\mu}\)

対数領域では \(\nu \ll \nu_{t}\)なので，せん断応力はレイノルズ応力に等しく，

\begin{equation}
\overline{uv}=-\nu_{t}\frac{\partial u}{\partial y}
\qquad\rightarrow\qquad
\nu_{t}=-\frac{\overline{uv}}{\frac{\partial u}{\partial y}}
\tag{i}
\end{equation}

対数領域では局所平衡 \(P_{k}=\varepsilon\) が成り立つので，

\begin{equation}
-\overline{uv}\frac{\partial u}{\partial y}=\varepsilon
\qquad\rightarrow\qquad
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\varepsilon}{\overline{uv}}
\tag{ii}
\end{equation}

(i)に(ii)を代入して，実験的に得られた式 \(|\overline{uv}|/k=0.3\)を代入すると

\begin{equation}
\nu_{t}=\frac{\left(\overline{uv}\right)^{2}}{\varepsilon}=0.09\frac{k^{2}}{\varepsilon}
\qquad\rightarrow\qquad
C_{\mu}=0.09 \qquad \left(\sqrt{C_{\mu}}=0.3\right)
\end{equation}

\(C_{\varepsilon_{2}}\)

一様等方乱流における乱流エネルギー\(k\)の輸送方程式および乱流散逸率\(\varepsilon\)の輸送方程式より，

\begin{equation}
\left\{\begin{array}{rl}
&\frac{\partial \varepsilon}{\partial t}=-C_{\varepsilon_{2}}\frac{1}{k}\varepsilon^{2} \\
&\varepsilon=-\frac{\partial k}{\partial t} \\
\end{array}\right.
\qquad\rightarrow\qquad
\frac{\partial^{2} k}{\partial t^{2}}=C_{\varepsilon_{2}}\frac{1}{k}\left(\frac{\partial k}{\partial t}\right)^{2}
\tag{iii}
\end{equation}

(iii)に，実験から得られた式 \(k=at^{-1}\)（\(a\)は任意定数）を代入すると

\begin{equation}
2at^{-3}=C_{\varepsilon_{2}}\frac{1}{at}\left(-at^{-1}\right)^{2}
\qquad\rightarrow\qquad
C_{\varepsilon_{2}}=2
\end{equation}

\(\sigma_{k}\)，\(\sigma_{\varepsilon}\)

\(\sigma_{k}\)および\(\sigma_{\varepsilon}\)は，勾配拡散近似の係数であり，実験的に1.0に近い数値だと考えられる

\(C_{\varepsilon_{1}}\)

圧力勾配のない定常な2次元せん断乱流の対数領域では，\(\varepsilon\)の実質微分が0になり（\(\frac{\partial \varepsilon}{\partial t}+\overline{u}_{j}\frac{\partial \varepsilon}{\partial x_{j}}=0\)），分子粘性が無視でき（\(\nu \ll \nu_{t}\)），局所平衡 \(P_{k}=\varepsilon\)が成り立つので，\(\varepsilon\)の輸送方程式は次のようになる

\begin{equation}
0
=\left(C_{\varepsilon_{1}}-C_{\varepsilon_{2}}\right)\frac{\varepsilon^{2}}{k}+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\nu_{t}}{\sigma_{\varepsilon}}\frac{\partial \varepsilon}{\partial y}\right)
\tag{iv}
\end{equation}

ここで，上記の式から\(\varepsilon\)と\(\nu_{t}\)を消去するために，対数速度分布を用いて\(\varepsilon\)を\(k\)で表すことを考える

対数速度分布の式 \(u^{+}=\frac{1}{\kappa}\ln{y^{+}}+B\)の両辺を\(y\)で微分して

\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\overline{u}}{u_{\tau}}\right)
=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{\kappa}\ln{\frac{u_{\tau}y}{\nu}}+B\right)\qquad\rightarrow\qquad
\frac{\partial u}{\partial y}
=\frac{u_{\tau}}{\kappa y}
\end{equation}

局所平衡の式 \(\varepsilon=P_{k}\)に，対数速度分布における速度勾配を代入して，

\begin{equation}
\varepsilon=P_{k}=-\overline{uv}\frac{\partial u}{\partial y}
=-\overline{uv}\frac{u_{\tau}}{\kappa y}
\end{equation}

さらに，乱流境界層内でレイノルズ応力が一定（\(-\rho\overline{uv} \simeq \tau_{w} = \rho u_{\tau}^{2}\)）という仮定を追加し，実験から得られた式 \(|\overline{uv}|=u_{\tau}^{2}=\sqrt{C_{\mu}}k\) を代入すると，次の式が得られる

\begin{equation}
\varepsilon=\frac{u_{\tau}^{3}}{\kappa y}
=\frac{C_{\mu}^{\frac{3}{4}}k^{\frac{3}{2}}}{\kappa y}
\tag{v}
\end{equation}

(v)より，\(\nu_{t}\)は次のようになる

\begin{equation}
\nu_{t}=C_{\mu}\frac{k^2}{\varepsilon}
=C_{\mu}\frac{k^{2}}{\frac{C_{\mu}^{3/4}k^{3/2}}{\kappa y}}
=C_{\mu}^{\frac{1}{4}}k^{\frac{1}{2}}\kappa y
\tag{vi}
\end{equation}

(iv)に(v)と(vi)を代入し，\(k\)が\(y\)によらず一定だと仮定すると，

\begin{align}
&0=
\left(C_{\varepsilon_{1}}-C_{\varepsilon_{2}}\right)
\frac{\left(\frac{C_{\mu}^{3/4}k^{3/2}}{\kappa y}\right)^{2}}{k}
+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{C_{\mu}^{\frac{1}{4}}k^{\frac{1}{2}}\kappa y}{\sigma_{\varepsilon}}\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{C_{\mu}^{\frac{3}{4}}k^{\frac{3}{2}}}{\kappa y}\right)\right) \\

\rightarrow\qquad
&0=
\left(C_{\varepsilon_{1}}-C_{\varepsilon_{2}}\right)\frac{C_{\mu}^{3/2}k^{2}}{\kappa^{2} y^{2}}
+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{\sigma_{\varepsilon}}\frac{C_{\mu}k^{2}}{y}\right) \\

\rightarrow\qquad
&0=\left(C_{\varepsilon_{1}}-C_{\varepsilon_{2}}\right)\frac{C_{\mu}^{3/2}k^{2}}{\kappa^{2} y^{2}}
+\frac{1}{\sigma_{\varepsilon}}\frac{C_{\mu}k^{2}}{y^{2}}
\end{align}

結局，以下の関係式が得られる

\begin{equation}
C_{\varepsilon_{2}}-C_{\varepsilon_{1}}
=\frac{\kappa^{2}}{\sigma_{\varepsilon}C_{\mu}^{1/2}}
\end{equation}

\(C_{\varepsilon_{1}}\)，\(C_{\varepsilon_{2}}\)，\(\sigma_{\varepsilon}\)は上記の関係式を満たすように決定する必要があり，すでにわかっている値として\(\kappa=0.4\)，\(\sigma_{\varepsilon}=1.0\)，\(C_{\varepsilon_{2}}=2.0\)，\(C_{\mu}=0.09\)を代入すると，\(C_{\varepsilon_{1}}=1.5\)が得られる

標準k-εモデルの定数群はこれらの定数を各種計算によってさらに最適化したものである

代表的な壁関数について説明する（第1格子点を表す添え字を\(_{P}\)とする）

摩擦速度\(u_{\tau}\)

対数速度分布の式 \(u^{+}=\frac{1}{\kappa}\mathrm{ln}y^{+}+B\)より，関数\(F(u_{\tau})\)を定義すれば，ニュートン法などの反復計算によって\(u_{\tau}\)が計算できる

\begin{equation}
F(u_{\tau})=\frac{u_{P}}{u_{\tau}}-\frac{1}{\kappa}\mathrm{ln}\frac{u_{\tau}y_{P}}{\nu}-B=0, \quad\rightarrow\quad
u_{\tau}^{n+1}=u_{\tau}^{n}-\frac{F(u_{\tau}^{n})}{F'(u_{\tau}^{n})}
\end{equation}

もしくは，対数領域において実験的に \(|uv|=\sqrt{C_{\mu}}k\) が成立し，粘性低層と対数領域でせん断応力が一定 \(|uv|=\tau_{w}/\rho=u_{\tau}^{2}\) であると仮定すれば次のようにも計算できる

\begin{equation}
u_{\tau}=\sqrt{|uv|}=C_{\mu}^{\frac{1}{4}}k^{\frac{1}{2}}
\end{equation}

乱流エネルギー\(k\)

同様の仮定において\(k_{P}\)は次のように計算できる

\begin{equation}
k_{P}=\frac{u_{\tau}^{2}}{\sqrt{C_{\mu}}}=const.
\quad\rightarrow\quad
\frac{\partial k_{P}}{\partial y_{P}}=0
\end{equation}

乱流散逸率\(\varepsilon\)

上記の仮定にさらに局所平衡 \(\varepsilon=P_{k}\)を加えると，\(\varepsilon_{P}\)は次のように計算できる（ 標準k-εモデルの定数群の決定方法 を参照）

\begin{equation}
\varepsilon_{P}=\frac{u_{\tau}^{3}}{\kappa y_{P}}
=\frac{C_{\mu}^{\frac{3}{4}}k_{P}^{\frac{3}{2}}}{\kappa y_{P}}
\end{equation}

渦粘性係数\(\nu_{t}\)

対数速度分布は次のように書き換えることができる

\begin{equation}
u^{+}=\frac{1}{\kappa}\mathrm{ln}\left(Ey^{+}\right) \qquad \left(E=9.8\right)
\end{equation}

上記の対数速度分布から\(u_{\tau}\)を計算する

\begin{equation}
\frac{u}{u_{\tau}}=\frac{1}{\kappa}\mathrm{ln}\left(Ey^{+}\right)
\quad\rightarrow\quad
u_{\tau}=\frac{\kappa u}{\mathrm{ln}\left(Ey^{+}\right)}
\tag{i}
\end{equation}

壁面せん断応力 \(\tau_{w}=\rho u_{\tau}^{2}\)の式に(i)を代入し，第1格子点における速度勾配 \(\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{P}=\frac{u_{P}-0}{y_{P}-0}=\frac{u_{P}}{y_{P}}\) をくくりだす

\begin{equation}
\tau_{w}=\rho u_{\tau}^{2}
=\rho u_{\tau}\frac{\kappa u_{P}}{\mathrm{ln}\left(Ey^{+}_{P}\right)}
=\frac{\rho\kappa u_{\tau} y_{P}}{\mathrm{ln}\left(Ey^{+}_{P}\right)}\frac{u_{P}}{y_{P}}
=\frac{\mu \kappa y^{+}_{P}}{\mathrm{ln}\left(Ey^{+}_{P}\right)}\frac{u_{P}}{y_{P}}
\end{equation}

上記の式と壁面せん断応力の別表式 \(\tau_{w}=\left(\mu+\mu_{t_{P}}\right)\frac{u_{P}}{y_{P}}\) を比較して両辺を\(\rho\)で割ることで，渦粘性係数の壁関数を求めることができる

\begin{equation}
\mu+\mu_{t_{P}}=\frac{\mu \kappa y^{+}_{P}}{\mathrm{ln}\left(Ey^{+}_{P}\right)}
\quad\rightarrow\quad
\nu_{t_{P}}=\nu\left(\frac{\kappa y^{+}_{P}}{\mathrm{ln}\left(Ey^{+}_{P}\right)}-1\right)
\end{equation}

参考

基本形

一般的な低レイノルズ数型モデルは次のように表される

\begin{equation}
\nu_{t}=C_{\mu}f_{\mu}\frac{k^{2}}{\varepsilon}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial k}{\partial t}+\overline{u}_{j}\frac{\partial k}{\partial x_{j}}
=P_{k}-\left(\tilde{\varepsilon}+D\right)
+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\left(\frac{\nu_{t}}{\sigma_{k}}+\nu\right)\frac{\partial k}{\partial x_{j}}\right\}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial \tilde{\varepsilon}}{\partial t}+\overline{u}_{j}\frac{\partial \tilde{\varepsilon}}{\partial x_{j}}
=\left(C_{\varepsilon_{1}}f_{1}P_{k}-C_{\varepsilon_{2}}f_{2}\tilde{\varepsilon}\right)\frac{\tilde{\varepsilon}}{k}+E+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\left(\frac{\nu_{t}}{\sigma_{\varepsilon}}+\nu\right)\frac{\partial \tilde{\varepsilon}}{\partial x_{j}}\right\}
\end{equation}

ここで，\(f_{\mu}\)は\(\nu_{t}\)に対する減衰関数，\(f_{1}\)および\(f_{2}\)は\(\varepsilon\)の生産項および消滅項における補正関数，\(D\)および\(E\)は壁面補正項である

ここで，粘性散逸率の真の値は壁面補正項\(D\)を用いて \(\varepsilon=\tilde{\varepsilon}+D\) として計算される

参考までに，代表的な低レイノルズ数型モデルを以下に示す

壁面漸近挙動

壁面の極近傍に乱れの挙動を壁面漸近挙動といい，低レイノルズ数型モデルの補正項はこの壁面漸近挙動を満たすように決める必要がある

変動速度の各方向成分\([u', v', w']\)を壁面からの垂直距離\(y\)についてテイラー展開すると次のようになる

\begin{equation}
\left\{\begin{array}{rcl}
u'(y)&=&a_{0}+a_{1}y+a_{2}y^{2}+a_{3}y^{3}+\cdots \\
v'(y)&=&b_{0}+b_{1}y+b_{2}y^{2}+b_{3}y^{3}+\cdots \\
w'(y)&=&c_{0}+c_{1}y+c_{2}y^{2}+c_{3}y^{3}+\cdots \\
\end{array}\right.
\end{equation}

壁面上での滑りなし条件 \(u'(0)=v'(0)=w'(0)=0\)および壁面上での連続の式\(\frac{\partial u'}{\partial x}(0)=\frac{\partial v'}{\partial y}(0)=\frac{\partial w'}{\partial z}(0)=0\)より，変動速度の各方向成分の壁面漸近挙動が得られる

\begin{equation}
\left\{\begin{array}{rcll}
u'(y)&=&a_{1}y&+a_{2}y^{2}+a_{3}y^{3}+\cdots \\
v'(y)&=& &\quad b_{2}y^{2}+b_{3}y^{3}+\cdots \\
w'(y)&=&c_{1}y&+c_{2}y^{2}+c_{3}y^{3}+\cdots \\
\end{array}\right.
\tag{i}
\end{equation}

(i)を用いると，壁面における各乱流諸量の\(y\)についてのテイラー展開は次のようになる

（乱流エネルギー）

\begin{align}
k=\frac{1}{2}\left(\overline{u'u'}+\overline{v'v'}+\overline{w'w'}\right)
\quad\rightarrow\quad k(y)=\frac{1}{2}\left(a_{1}^{2}+c_{1}^{2}\right)y^{2}+\cdots
\end{align}

（乱流散逸率）

\begin{align}
&\varepsilon=\nu\left(\overline{\frac{\partial u'}{\partial y}\frac{\partial u'}{\partial y}}+\overline{\frac{\partial v'}{\partial y}\frac{\partial v'}{\partial y}}+\overline{\frac{\partial w'}{\partial y}\frac{\partial w'}{\partial y}}\right)
\quad\rightarrow\quad \varepsilon(y)=\nu\left(a_{1}^{2}+c_{1}^{2}\right)+\cdots
\end{align}

（レイノルズ応力のuv成分）

\begin{align}
-\overline{u'v'}(y)=a_{1}b_{2}y^{3}+\cdots
\end{align}

（渦粘性係数）

\begin{align}
&\nu_{t}=\frac{-\overline{uv}}{\partial u/\partial y}
\quad\rightarrow\quad \nu_{t}(y)=\frac{a_{1}b_{2}y^{3}+\cdots}{a_{1}+\cdots}
\end{align}

よって，それぞれの壁面漸近挙動は，\(k \propto y^{2}\)，\(\varepsilon \propto y^{0}\)，\(\overline{u'v'} \propto y^{3}\)，\(\nu_{t} \propto y^{3}\)である

壁面境界条件

前節で求めた壁面上での乱流諸量のテイラー展開に \(y=0\) 代入することで，低レイノルズ数型モデルにおける壁面境界条件（添え字\(_{w}\)）を求めることができる

（乱流エネルギー）

\begin{equation}
k_{w}=0
\end{equation}

（乱流散逸率）

\begin{equation}
\varepsilon_{w}=\nu\left(a_{1}^{2}+c_{1}^{2}\right)
=\left\{\begin{array}{l}
\nu\frac{\partial^{2} k(y)}{\partial y^{2}} \\
\nu\left(\frac{\partial \sqrt{k(y)}}{\partial y}\right)^{2} \\
2\nu\frac{k(y)}{y^{2}} \\
\end{array}\right.
\end{equation}

（渦粘性係数）

\begin{equation}
\nu_{t_{w}}=0
\end{equation}

\(\varepsilon\)の壁面境界条件の与え方は3通りあるが，CFDでは境界端での微分の精度が確保できないことから，微分の必要がない \(\varepsilon_{P}=\frac{2\nu k_{P}}{y_{P}^{2}}\) の境界条件が使われる

ただし，Launder-Sharmaモデルのように低レイノルズ数型モデルの補正項として\(D\)項を用いている場合は \(\varepsilon_{w}=\tilde{\varepsilon}_{w}+D=\frac{2\nu k}{y^{2}}\)なので，\(\tilde{\varepsilon}\)の壁面境界条件として \(\tilde{\varepsilon}_{w}=0\) を設定する必要がある