一様な上昇風および巡行中に正対風や背風が非常に短い時間で変化した場合の対気エネルギーと対地エネルギーについて説明する。
はじめに
前の記事「航空機が風からエネルギーを得る仕組み」では、対地エネルギーと対気エネルギーを定義し、風とのエネルギー交換を表す二つの一般式を導いた。
本記事では、この一般式を具体的な風速場へ適用する
まず一様な上昇風を扱い、その後、巡行中に正対風や背風が非常に短い時間で変化した場合の対気エネルギーと対地エネルギーの変化を考える。
上昇風によるエネルギー獲得
まず、一様な上昇風へ二つの一般式を適用する。
まずは、対地エネルギーと対気エネルギーの両方に共通して現れる、上昇風によるエネルギー獲得を考える。
一様な上昇風では、風速そのものが時間的・空間的に変化しなくても、空気全体が上向きに移動しているため、一般式の \(W_z\) が正のエネルギー項になる。
一様な上昇風を、
\begin{align} \mathbf W =W_z\mathbf e_z, \qquad W_z>0 \end{align}
とする。
対地エネルギー高度の一般式は、
\begin{align} \dot H_g =-\frac{DV_a}{mg} +W_z +\frac{W_z\dot V_{g,z}}{g} \end{align}
となる。
定常飛行では、
\begin{align} \dot{\mathbf V}_g =\mathbf 0 \end{align}
なので、厳密に、
\begin{align} \dot H_g =W_z -\frac{DV_a}{mg} \end{align}
である。
準定常飛行で鉛直加速度が十分小さい場合にも、
\begin{align} \dot H_g \simeq W_z -\frac{DV_a}{mg} \end{align}
とみなせる。
したがって、上昇風中では、上向きに移動する空気が空気力を介して航空機に正の仕事を行う。
対気エネルギーで見た場合でも、風速が時間的・空間的に一定であれば、
\begin{align} \frac{d\mathbf W}{dt} =\mathbf 0 \end{align}
なので、この条件を対気エネルギー高度の一般式へ代入すると、
\begin{align} \dot H_a &=-\frac{DV_a}{mg} +W_z -\frac{\mathbf V_a}{g} \cdot \frac{d\mathbf W}{dt} \\ &=-\frac{DV_a}{mg} +W_z \end{align}
となる。
このように、定常飛行では、対地エネルギー高度と対気エネルギー高度のどちらから考えても、
\begin{align} \dot H_g =\dot H_a =W_z-\frac{DV_a}{mg} \end{align}
となる。
したがって、一様な上昇風については、二つのエネルギー基準から同じ正味のエネルギー獲得条件が得られ、
\begin{align} W_z>\frac{DV_a}{mg} \end{align}
であれば、上昇風から得るエネルギーが抗力による損失を上回り、航空機のエネルギーは増加する。
巡行中に突然風が変化した場合
風速変化に伴うエネルギー変化
次に、飛行中の航空機が、非常に短い時間で風速の変化に遭遇する場合を考える。
ここでは、風速変化の時間が航空機の運動応答に比べて十分短く、その瞬間には対地速度と高度がほとんど変化しない極限を扱う。
風速が非常に短時間で変化し、その間の空気力の力積と高度変化を無視できる場合を考える。
この瞬間には、
\begin{align} \Delta\mathbf V_g =\mathbf 0 \end{align}
\begin{align} \Delta h =0 \end{align}
なので、この場合、対地エネルギーは瞬間的に連続し、
\begin{align} \Delta E_g =0 \end{align}
である。
一方、
\begin{align} \mathbf V_a =\mathbf V_g -\mathbf W \end{align}
なので、風速が \(\Delta\mathbf W\) だけ変化すると、対気速度は周囲の風速に応じて直ちに変化し、
\begin{align} \mathbf V_a^+ =\mathbf V_a^- -\Delta\mathbf W \end{align}
となる。
上付きの \(-\) は風速変化直前、\(+\) は直後を表す。
対気エネルギーの瞬間変化は、
\begin{align} \Delta E_a &=\frac{1}{2}m \left| \mathbf V_a^- -\Delta\mathbf W \right|^2 -\frac{1}{2}m \left| \mathbf V_a^- \right|^2 \\ &=-m\mathbf V_a^- \cdot \Delta\mathbf W +\frac{1}{2}m \left| \Delta\mathbf W \right|^2 \end{align}
となる。
この式は、風が時間的に変化する突風にも、航空機が非常に薄い風速境界を横切る場合にも適用でき、ダイナミックソアリングの文献でも用いられている。
突然正対風が吹いた場合
座標系はこれまでと同様に、風下方向を \(+x\) とし、無風中を風上方向（\(-x\)方向）へつりあい飛行する航空機を考える。
風速変化前の対気速度は、
\begin{align} \mathbf V_a^- =-V\mathbf e_x, \qquad V>0 \end{align}
である。
ここで、風速 \(U\) の正対風が突然発生したとする。
\begin{align} \Delta\mathbf W =U\mathbf e_x, \qquad U>0 \end{align}
対気速度は、風下方向を正として
\begin{align} \mathbf V_a^+ &=\mathbf V_a^- -\Delta\mathbf W \\ &=-\left( V+U \right) \mathbf e_x \end{align}
となり、対気速度の大きさは \(V\) から \(V+U\) へ増加する。
対気エネルギー変化は、
\begin{align} \Delta E_a &=-m \left( -V\mathbf e_x \right) \cdot \left( U\mathbf e_x \right) +\frac{1}{2}mU^2 \\ &=mVU +\frac{1}{2}mU^2 \\ &>0 \end{align}
である。
一方、対地速度と高度は瞬間的には変化しないため、
\begin{align} \Delta E_g=0 \end{align}
である。
この瞬間、対気エネルギーだけが増加し、対地エネルギーは一定に保たれる。
このように、対気エネルギーが増加するタイミングと、対地エネルギーが増加するタイミングは一般には一致しない。
釣り合い飛行をしているときに正対風が急に強くなると、対地速度は瞬間的には変化しない一方、対気速度は増加するため、もとの釣り合い状態に対して対気速度の余剰が生じる。
そこで、風速変化後の一様な正対風中で、この対気速度の余剰を使って減速しながら上昇する場合を考える。
抗力を無視すれば、一様水平風中において、対気エネルギーは一定であり、対気速度の余剰分は位置エネルギーの増加へ変換される。
そこで、 \(\Delta E_a=0\) を対地エネルギーと対気エネルギーの変化分の関係式
\begin{align} \Delta E_g =\Delta E_a +m\mathbf W\cdot \Delta\mathbf V_a \end{align}
に代入すると、
\begin{align} \Delta E_g &=m\mathbf W\cdot\Delta\mathbf V_a =mU\Delta V_{a,x} > 0 \end{align}
となる（風上方向に飛行しているので \(V_{a,x}<0\) であり、減速すると \(\Delta V_{a,x}>0\) となる）。
したがって、突然正対風が発生した瞬間には対気エネルギーのみが増加し、その後に正対風中で減速上昇することで、対地エネルギーを増加させることができる。
突然背風が吹いた場合
次に、無風中を風下方向（ \(+x\) 方向）へ飛行する航空機を考える。
風速変化前の対気速度は、
\begin{align} \mathbf V_a^- =V\mathbf e_x, \qquad V>0 \end{align}
である。
風速 \(U\) の背風が突然発生すると、
\begin{align} \Delta\mathbf W =U\mathbf e_x, \qquad U>0 \end{align}
である。
対気速度は、
\begin{align} \mathbf V_a^+ &=\left( V-U \right) \mathbf e_x \end{align}
となる。
通常の飛行状態として、
\begin{align} 0<U<V \end{align}
を仮定すれば、対気速度の大きさは \(V\) から \(V-U\) へ低下する。
対気エネルギー変化は、
\begin{align} \Delta E_a &=-mVU +\frac{1}{2}mU^2 \\ &=-mU \left( V- \frac{U}{2} \right)<0 \end{align}
である。
このときも、瞬間的には、
\begin{align} \Delta E_g=0 \end{align}
である。
その後、背風中で降下し、対気速度を風下方向へ増加させると、
\begin{align} \Delta V_{a,x}>0 \end{align}
なので、前節と同様に抗力を無視し、 \(\Delta E_a = 0\) とした場合、
\begin{align} \Delta E_g=mU\Delta V_{a,x}>0 \end{align}
となる。
したがって、突然背風が発生した瞬間には対気エネルギーは減少するが、その後に背風中で増速降下することで、風が航空機へ正の仕事を行い、対地エネルギーは増加させることができる。
正対風または背風が突然やんだ場合
風が突然やむ場合も、変化時間が十分短ければ、
\begin{align} \Delta\mathbf V_g =\mathbf 0, \qquad \Delta h=0 \end{align}
である。
一方、
\begin{align} \mathbf V_a =\mathbf V_g- \mathbf W \end{align}
なので、風速が変化すれば対気速度は瞬間的に変化する。
ただし、その後、無風中で減速上昇、増速降下しても、 \(W=0\) のため、位置エネルギーと運動エネルギーが変換されるだけで、（抗力を無視すれば）対地エネルギーの総量は変化しない。
おわりに
一様な上昇風では、対地エネルギーと対気エネルギーのどちらから見ても、上昇風によるエネルギー獲得率は \(mgW_z\) として現れる。
定常飛行では、上昇風から得るエネルギーと抗力損失の差によって、航空機のエネルギーが増減する。
水平風が非常に短い時間で変化する場合には、その瞬間の対地速度と高度はほぼ連続に保たれるため、対地エネルギーも連続する。一方、対気速度は風速変化に応じて直ちに変化し、対気エネルギーは跳躍的に増減する。
その後の一様水平風中では、対気運動エネルギーと位置エネルギーを変換しながら飛行できる。正対風中の減速上昇や背風中の増速降下では、風向成分を持つ加速度によって風が航空機へ正の仕事を行い、対地エネルギーが増加する区間が生じる。
次の記事では、飛行方向そのものが変化する旋回運動に注目し、一様水平風中で風が航空機へ行う仕事と、一周したときのエネルギー収支を考える。
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