一様水平風中の旋回について、飛行方向の変化によって対地エネルギーがどのように増減するかを説明する。
はじめに
前の記事「上昇風と水平風によるエネルギー獲得」では、正対風中の減速上昇や背風中の増速降下など、直線飛行中の速度変化によって風と航空機の間にエネルギー移動が生じることを整理した。
本記事では、一様水平風中の旋回を考え、飛行方向の変化によって対地エネルギーがどのように増減するかを説明する。
それではいってみよう
理想的な無抗力旋回
まず、抗力を \(D=0\) として、旋回中の高度 \(h\) と対気速度の大きさ \(V_a\) が一定である理想旋回を考える。
一様な水平風を、
\begin{align} \mathbf W =U\mathbf e_x, \qquad U>0 \end{align}
とする。今回は、\( h= \text{const.}\)、\(V_a= \text{const.} \) なので、
\begin{align} E_a =\frac{1}{2}mV_a^2 +mgh =\text{const.} \end{align}
となり、対気エネルギーは一定である。
これは、航空機の周囲にある空気全体が風速 \(U\) で風下方向へ移動し、その空気とともに航空機が旋回している、と解釈してよい。
一方、対気エネルギーが一定の旋回であっても、対地エネルギーは旋回中に増減する。
対気速度と風下方向のなす角を \(\psi\) とする。
- \(\psi=0\)：風下向き
- \(\psi=\pi/2\)：横風向き
- \(\psi=\pi\)：風上向き
ここで、対気速度ベクトルは、
\begin{align} \mathbf V_a =V_a \left( \cos\psi\,\mathbf e_x + \sin\psi\,\mathbf e_y \right) \end{align}
である。
対地エネルギーと対気エネルギーの関係式
\begin{align} E_g =E_a +m\mathbf V_a\cdot\mathbf W +\frac{1}{2}mW^2 \end{align}
へ、\( \mathbf W=U\mathbf e_x \) を代入すると、
\begin{align} \mathbf V_a\cdot\mathbf W =UV_a\cos\psi \end{align}
より、対地エネルギーは、
\begin{align} E_g =E_a +\frac{1}{2}mU^2 +mUV_a\cos\psi \end{align}
となる。
これより、一様風中では、対気エネルギーが一定であっても、飛行方向の変化によって対地エネルギーが増減していることがわかる。
ここからは、一様風中を一周する周期的な旋回を、
- 風下から風上への旋回
- 風上から風下への旋回
の二つに分けて考える。
この二つの区間について対地エネルギー変化を個別に求めることで、一様風中の旋回で風が航空機へ行う仕事の符号と、その一周後の収支を整理できる。
風下から風上への旋回
旋回開始時を風下飛行、終了時を風上飛行とする。
\begin{align}
\psi_1=0, \qquad \psi_2=\pi
\end{align}
一様・定常水平風における有限時間の対地エネルギー変化の式
\begin{align} \Delta E_g =-\int_{t_1}^{t_2}DV_a\,dt +m\mathbf W\cdot \Delta\mathbf V_a \end{align}
において、無抗力旋回（\(D=0\)）を考えると、
\begin{align} \Delta E_g =m\mathbf W\cdot \Delta\mathbf V_a \end{align}
となる。
また、\( \mathbf W =U\mathbf e_x \) であり、対気速度の風下方向成分は、
\begin{align} V_{a,x} =V_a\cos\psi \end{align}
である。
したがって、旋回開始時を状態1、旋回終了時を状態2とすると、
\begin{align}
\Delta E_g
&=mU \left( V_{a,x,2}-V_{a,x,1} \right) \\
&=mUV_a \left( \cos\psi_2-\cos\psi_1 \right)
\end{align}
となる。
この式へ \(\psi_1=0, \psi_2=\pi\) を代入すると
\begin{align} \Delta E_g &=mUV_a \left( \cos\psi_2- \cos\psi_1 \right) \\ &=mUV_a \left( -1-1 \right) \\ &=-2mUV_a \end{align}
となる。
これより、風下から風上へ旋回すると、風は航空機に負の仕事を行い、対地エネルギーが減少することがわかる。
同じ結果は、前に導いた対地エネルギー変化率からも確認できる。
一様・水平定常風中の無抗力旋回では
\begin{align}
\mathbf W &=U\mathbf e_x \\
W_z&=0 \\
D&=0 \\
\dot{\mathbf V}_g &=\dot{\mathbf V}_a
\end{align}
なので
\begin{align}
\dot E_g
&=-DV_a +mgW_z +m\mathbf W\cdot\dot{\mathbf V}_g \\
&=m \left(U\mathbf e_x\right) \cdot\dot{\mathbf V}_a \\
&= mU \frac{d}{dt}\left(V_a\cos\psi \right) \\
&= -mU V_a \sin\psi
\end{align}
となる。
このように、旋回中の対地加速度ベクトル \(\dot{\mathbf V}_g\) は常に円の中心方向を向くため、飛行方向 \(\psi\) によって、風が航空機へ正の仕事をする区間と負の仕事をする区間が生じる。
風下から風上までの旋回では、 \(\psi:0\rightarrow\pi\) となるため、この区間で風が航空機へ行う仕事は、
\begin{align} d\psi =\dot\psi\,dt \end{align}
なので、積分変数を時間 \(t\) から旋回角 \(\psi\) へ変換すると、
\begin{align}
\Delta E_g
&=\int m\mathbf W\cdot\dot{\mathbf V}_g\,dt
qquad \left(d\psi =\dot\psi\,dt\right)\\
&=-mUV_a \int_0^\pi \sin\psi\,d\psi \\
&=-2mUV_a
\end{align}
となる。
したがって、風下から風上への旋回では、風が航空機へする仕事の積分値が負となっている。
風上から風下への旋回
旋回開始時を風上飛行、終了時を風下飛行とすると、
\begin{align} \psi_1=\pi, \qquad \psi_2=0 \end{align}
である。
したがって、
\begin{align} \Delta E_g &=mUV_a \left( 1-(-1) \right) \\ &=2mUV_a \end{align}
となる。
風上から風下へ旋回すると、風は航空機に正の仕事を行い、対地エネルギーが増加する。
一周した場合
一周した場合は、風上から風下への旋回で獲得した対地エネルギーと、風下から風上へ旋回したときに失った対地エネルギーが相殺し、対地エネルギーの正味変化はゼロになる。
周回積分を使ってかっこよく書くと、
\begin{align} \oint m\mathbf W\cdot d\mathbf V_g =0 \end{align}
となる。
実際には、抗力が働くため、一周後の対地エネルギー変化はゼロにはならない。
一様水平風では、
\begin{align} \frac{d\mathbf W}{dt} =\mathbf 0, \qquad W_z=0 \end{align}
なので、対気エネルギー変化率は、
\begin{align} \dot E_a =-DV_a \end{align}
となる。
したがって、一旋回区間では、
\begin{align} \Delta E_a=-\int D V_a\,dt<0 \end{align}
である。
このように、無推力飛行の旋回では、抗力によるエネルギー損失があるため、対気速度を一定に保つ場合には、その分だけ高度が低下し、高度を一定に保つ場合には、対気速度が低下する。
無推力飛行では、高度と対気速度を抗力に逆らって同時に一定に保つことはできない。
おわりに
一様水平風中の旋回について、飛行方向の変化によって対地エネルギーがどのように増減するかを説明した。
一様水平風中で、高度と対気速度の大きさを一定に保つ理想的な無抗力旋回では、対気エネルギーは一定である。
一方、対地エネルギーは飛行方向によって変化し、風下から風上への旋回では \(-2mUV_a\)、風上から風下への旋回では \(+2mUV_a\) だけ変化する。
一周後に速度ベクトルが初期値へ戻る閉軌道では、この正負の仕事が相殺し、飛行方向の変化による対地エネルギーの正味変化は0になる。
次の記事では、この正負の仕事の相殺を崩すため、風上から風下への方向変化を強風帯で、風下から風上への方向変化を弱風帯で行うRayleigh型のダイナミックソアリングを考える。
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