寸法のばらつきと公差の集積を計算する

正規分布とは，その名の通りだいたいの物事にあてはまる最もありふれたばらつきの分布である

例えば，文科省が公開している日本人男性17歳の身長の分布はほとんど正規分布に従う

偏差は個々の数値\(x_{i}\)と平均\(\mu\)との差で表される

\begin{equation}
x_{i}-\mu
\end{equation}

平均\(\mu\)は次のように計算できる

\begin{equation}
\mu=\frac{\sum{x_{i}}}{n}
\end{equation}

部品のばらつき（偏差）はプラスもあればマイナスもあるので，全体の傾向を見るために単純に平均を取ってしまうと，その値はほぼゼロになってしまう

平均がほぼゼロになってしまうことを避けるために，偏差を二乗してから平均を取ったものが分散である

分散は次の式で表される

\begin{equation}
\frac{\sum{\left(x_{i}-\mu\right)^2}}{n}
\end{equation}

分散の値が大きければ大きいほど，部品のばらつきが大きいことを意味する

分散は部品のばらつきの大きさを表すことのできる一つの指標だが，単位が㎟になってしまい直感性に欠ける

そこで，分散を計算するときの2乗を打ち消すために，分散の平方根を取ったものが標準偏差である

標準偏差\(\sigma\)は次の式で表される

\begin{equation}
\sigma=\sqrt{\frac{\sum{\left(x_{i}-\mu\right)^2}}{n}}
\end{equation}

偏差値は以下の式で表される

\begin{equation}
\frac{x_{i}-\mu}{\sigma}\times10+50
\end{equation}

偏差が\(3\sigma\)のとき，\(x_{i}=\mu+3\sigma\)なので，偏差値は80になる

\begin{equation}
\frac{\left(\mu+3\sigma\right)-\mu}{\sigma}\times10+50=3\times10+50=80
\end{equation}

文科省が公開している日本人男性17歳の身長の分布は平均170.8㎝/標準偏差5.9㎝の正規分布にほぼ従うので，\(\pm{3\sigma}\)は身長153.1㎝～188.5㎝に相当する

日本人男性の体形に合わせた製品を作るときには身長153.1cm～188.5cmを想定しておけばだいたい問題なさそう，というのは直感的に同意できるんじゃないだろうか

組立品の公差は，分散の加法性により計算できる

分散\(\sigma^2\)は，それぞれの分散が独立な場合，次のように単純に足し算ができる

\begin{equation}
\sigma_{X+Y}^2=\sigma_{X}^2+\sigma_{Y}^2
\end{equation}

分散の加法性を用いると，組立品の分散\(\sigma_{assy}^2\)はそれぞれの部品の分散\(\sigma_{i}^2\)の線形和で表される

\begin{equation}
\sigma_{assy}^2=\sigma_{1}^2+\sigma_{2}^2+\sigma_{3}^2+\cdots
\end{equation}

公差は標準偏差の3倍（\(3\sigma\)）なので，上式の両辺を9倍する

\begin{align}
9\sigma_{assy}^2&=&9\sigma_{1}^2+9\sigma_{2}^2+9\sigma_{3}^2+\cdots\\\\
\left(3\sigma_{assy}\right)^2&=&\left(3\sigma_{1}\right)^2+\left(3\sigma_{2}\right)^2+\left(3\sigma_{3}\right)^2+\cdots\\
\end{align}

両辺の平方根を取ると「組立品の公差\(\left(3\sigma\right)_{assy}\)はそれぞれの部品の公差\(\left(3\sigma\right)_{i}\)の2乗和平方根で計算できる」が証明できる

\begin{align}
\left(3\sigma\right)_{assy}&=&\sqrt{\left(3\sigma\right)_{1}^2+\left(3\sigma\right)_{2}^2+\left(3\sigma\right)_{3}^2+\cdots}\\
\end{align}

分散\(\sigma^2\)は，それぞれの分散が独立な場合，次のように単純に足し算ができる

\begin{equation}
\sigma_{X+Y}^2=\sigma_{X}^2+\sigma_{Y}^2
\end{equation}

上式で表される分散の加法性を証明する

分散は，偏差の二乗の平均値として計算できる

\begin{equation}
\sigma^2=\frac{\sum{\left(x_{i}-\mu\right)^2}}{n}
\end{equation}

この定義を用いると，XとYの合計の分散\(\sigma_{X+Y}^2\)は以下のようになる

\begin{equation}
\sigma_{X+Y}^2=\frac{\sum{\left\{\left(x_{i}+y_{i}\right)-\left(\mu_{x}+\mu_{y}\right)\right\}^2}}{n}
\end{equation}

結論ありきで展開していく

\begin{align}
&\sigma_{X+Y}^2=\frac{\sum{\left(
x_{i}^2+2x_{i}y_{i}+y_{i}^2
+\mu_{x}^2+2\mu_{x}\mu_{y}+\mu_{y}^2
-2x_{i}\mu_{x}-2x_{i}\mu_{y}-2y_{i}\mu_{x}-2y_{i}\mu_{y}
\right)}}{n}\\\\
&\sigma_{X+Y}^2=\frac{\sum{\left\{
\left(x_{i}-\mu_{x}\right)^2+\left(y_{i}-\mu_{y}\right)^2
+2x_{i}y_{i}+2\mu_{x}\mu_{y}-2x_{i}\mu_{y}-2y_{i}\mu_{x}
\right\}}}{n}\\\\
&\sigma_{X+Y}^2=\frac{\sum{\left\{
\left(x_{i}-\mu_{x}\right)^2+\left(y_{i}-\mu_{y}\right)^2
+2\left(x_{i}-\mu_{x}\right)\left(y_{i}-\mu_{y}\right)
\right\}}}{n}\\\\
&\sigma_{X+Y}^2=
\frac{\sum{\left(x_{i}-\mu_{x}\right)^2}}{n}
+\frac{\sum{\left(y_{i}-\mu_{y}\right)^2}}{n}
+\frac{\sum{2\left(x_{i}-\mu_{x}\right)\left(y_{i}-\mu_{y}\right)}}{n}
\end{align}

よって，XとYの合計の分散\(\sigma_{X+Y}^2\)は次の式で表される

\begin{equation}
\sigma_{X+Y}^2=\sigma_{X}^2+\sigma_{Y}^2+\sigma_{XY}^2
\end{equation}

ここで，\(\sigma_{XY}^2\)は共分散とよばれる値で，XとYのばらつきの相関をあらわす値である

\begin{equation}
\sigma_{XY}^2=\frac{\sum{2\left(x_{i}-\mu_{x}\right)\left(y_{i}-\mu_{y}\right)}}{n}
\end{equation}

XとYの相関の大きさを表す相関係数\(r\)は次の式で計算できる

\begin{equation}
r=\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}
\end{equation}

上式より，XとYが独立（相関係数\(r\)がゼロ）のとき，共分散\(\sigma_{XY}^2\)の値がゼロであることが分かる

以上より，XとYが独立のとき，分散の加法性が成立することが証明できた

\begin{equation}
\sigma_{X+Y}^2=\sigma_{X}^2+\sigma_{Y}^2
\end{equation}